使用信號平均來提高測量的準確性

我們的測量不可避免地會受到來自不同的噪聲的影響。有時，我們測量的信號比噪聲分量小幾個數(shù)量級。在這些情況下，我們需要降噪技術以某種方式抑制噪聲。在本文中，我們將研究在特定情況下非常有效的信號平均法。 

 

信號平均如何工作？

假設實驗的輸出是如圖 1 所示的指數(shù)曲線。

 

圖1

 

假設我們的測量設置使用 ADC 將該信號數(shù)字化。理想情況下，我們希望得到圖 1 中的曲線樣本；然而，實際上，噪聲電壓出現(xiàn)在 ADC 輸入端并破壞了我們的樣本。假設噪聲分量服從均值為 0、方差為 1 的正態(tài)分布。圖 2 顯示了此類噪聲分量的示例。

圖 2

 

如果我們將上述噪聲分量添加到圖 1 所示的所需輸出中，我們將獲得圖 3 中的波形。

 

圖 3

 

如您所見，噪聲大到足以掩蓋所需的輸出。我們如何才能實現(xiàn)更準確的測量？實際上，如果某些關于噪聲分量的假設是有效的，這在理論上是可能的。讓我們假設噪聲樣本既不相互關聯(lián)，也不與期望的輸出相關。此外，假設噪聲的平均值為零。現(xiàn)在，讓我們重復這個實驗三次，如圖 4 所示。

 

圖 4 

 

在 t=0.3 ms 時，我們從這三個實驗中得到以下值：

 

X 1 = S 1 + n 1 = -0.707 v

X 2 = S 2 + n 2 = 1.712 v

X 3 = S 3 + n 3 = 2.557 v

 

在上述等式中，當 i = 1、2、3 時，Si 表示所需的信號值，在此特定示例中為 0.7769 v（來自圖 1）。然而，作為噪聲分量的 n i隨實驗的不同而不同。由于噪聲樣本彼此不相關且均值為零，因此對上述三個值進行平均應該可以更好地估計所需值。我們獲得：

 

X平均值= 1.187 v

 

請注意，在我們所有的實驗中都相同的期望值并沒有被平均過程抑制；但是，隨機且均值為零的噪聲分量會變小。圖 5 顯示了我們通過計算三個實驗的平均值得到的信號。盡管平均值仍然非常嘈雜，但它的整體形狀在某種程度上類似于圖 1 中的指數(shù)曲線。 

 

圖 5

 

是否可以通過增加實驗次數(shù)來提高準確率？圖 6 顯示了 100、200、300 和 400 次實驗的平均輸出。

 

圖 6

 

隨著我們增加實驗次數(shù)，我們得到越來越準確的測量結果。讓我們看一下平均的數(shù)學分析，并量化增加實驗次數(shù)對噪聲抑制的影響。

 

數(shù)學分析

假設一個實驗可以重復 N 次試驗。如果我們用 j 表示實驗編號，則第 j 個實驗的輸出 X j可以寫為 

 

X j = S + n j      1 ≤ j ≤ N 

 

其中 S 表示所有這些 N 次試驗都相同的期望輸出，n j是影響第 j 次試驗的噪聲分量。與所需的輸出不同，噪聲分量因實驗而異。假設，為了將我們的測量值數(shù)字化，我們從每個實驗的輸出中總共提取了 M 個樣本。如果我們用 k 表示樣本數(shù)，我們有 

 

X j (k) = S(k) + n j (k) 1 ≤ k ≤ M 

 

因此，對于給定的樣本數(shù) p，我們從這些實驗中得到 N 個不同的值：        

 

X 1 (p) = S(p) + n 1 (p)

X 2 (p) = S(p) + n 2 (p)

……

X M (p) = S (p) + n M (p)

 

我們看到信號平均可以抑制噪聲分量。這些值的平均值是 

 

XAvg(p)=1MM∑j=1(S(p)+nj(p))XAvg(p)=1M∑j=1M(S(p)+nj(p))

 

由于 S(p) 對于所有這些實驗都是相同的，我們有

 

$${}_{Avg}\left(p\right)=S\left(p\right)+\frac{1}{M}\sum _{j=1}^M{}_j\left(p\right)=S\left(p\right)+n\left(p\right)$$

 

我們不知道影響第 j 個實驗的噪聲樣本 n j (p) 的確切值，但我們假設它是一個均值為零且方差為 σ n 2的隨機變量。為了量化信號平均對降噪的影響，我們應該計算平均噪聲分量 n(p) 的方差，我們將用 σ n, avg 2表示。我們知道可以通過以下等式找到方差：

 

$${}^{}=E\left(\right[n\left(p\right){}^{})?{}^{}$$

 

其中 E(.) 表示期望值，μ 是 n(p) 的平均值。由于假定隨機變量 nj(p) 的均值為零，因此 n(p) 的均值也將為零。因此，我們有

 

{\sigma _{n, avg} }^2 =E\left ([n(p)]^2 \right ) =E\left [ \frac{1}{M}\sum_{j=1} ^M n_j(p)\right ]^2 = E\left ( \frac{1}{M^2}\sum_{j=1}^M n_j(p) \sum_{j=1}^M n_j( p) \右 )

 

這可以改寫為 

 

$${}^{}=E\left(\frac{1}{{}^{}}\sum _{j=1}^M\sum _{j=1}^M{}_j\right(p\left){}_j\right(p\left)\right)=\frac{1}{{}^{}}\sum _{j=1}^M\sum _{j=1}^{M}E\left({}_j\right(p\left){}_j\right(p\left)\right)$$

 

如果您需要查看期望運算符的屬性，請觀看此視頻。上面的求和總共有 M 2項。其中一些涉及乘以兩個不同的隨機變量，即 n i (p)n j (p)，其中 i≠j。對于這些項，由于我們假設隨機變量是獨立的，所以我們有：

 

\[E(n_i(p)n_j(p))=E(n_i(p))E(n_j(p))=0 \; \; \; \; 為了 \; \; \; 我 \neq j \]

 

因為每個隨機變量的期望值為零。然而，對于 i=j 的項，我們得到

 

\[E\left ( n_i(p)n_j(p) \right )=E\left ( \left [ n_i(p) \right ]^2 \right )= {\sigma_n}^2 \; \; \; \; 為了 \; \; \; 我 = j\]

 

總共有 M 個這樣的項，因此我們得到：

 

$${}^{}=\frac{1}{{}^{}}\sum _{j=1}^M\sum _{j=1}^{M}E\left({}_j\right(p\left){}_j\right(p\left)\right)=\frac{1}{{}^{}}M{}^{}=\frac{{}^{}}{M}$$

 

上面的等式表明，雖然噪聲樣本的方差為 σ n 2，但信號平均技術將其降低了 M 倍。請注意，所需信號不受平均的影響。因此，我們可以得出結論，信號平均可以將信噪比 (SNR) 提高 M 倍。該分析允許我們?yōu)槠骄夹g選擇所需的實驗次數(shù)，以便我們可以實現(xiàn)任意 SNR。 

通過理解以上分析，我們可以更好地了解信號平均技術的局限性。上述分析的隱含假設是：

噪聲可以用零均值的隨機變量建模信號和噪聲不相關噪聲樣本彼此不相關實驗可重復

 

信號平均依賴于噪聲隨機性

有時出現(xiàn)在我們測量系統(tǒng)輸入端的噪聲并不是真正隨機的。例如，來自電源線的噪聲會產(chǎn)生非隨機噪聲分量。假設電源線頻率為 50 Hz（周期為 20 ms）并且我們每 40 ms 觸發(fā)測量。如圖 7 所示。在這種情況下，影響特定樣本的噪聲 n(k) 始終與電源線正弦波的特定部分相關。因此，平均技術不會抑制這種噪聲。為了解決這個問題，我們可以簡單地選擇一個不能被 20 ms 整除的測量周期。或者，我們可以使用隨機測量周期。

 

圖 7

 

結論

有時，我們測量的信號比噪聲分量小幾個數(shù)量級。在這些情況下，我們需要降噪技術以某種方式抑制噪聲。在本文中，我們研究了信號平均技術，當噪聲與我們想要的信號不相關時，它會很有幫助。此外，噪聲應該具有零均值。我們看到，如果我們重復 M 次實驗并計算這些實驗的平均值，則信噪比 (SNR) 可以提高 M 倍。