傳輸線理論：觀察反射系數(shù)和駐波

自然界中各種類型的波的行為基本相似。就像從懸崖上回蕩的聲音一樣，電波在遇到傳播介質(zhì)的阻抗變化時(shí)會(huì)發(fā)生反射。波反射會(huì)導(dǎo)致一種有趣的現(xiàn)象，稱為駐波。駐波對(duì)于大多數(shù)樂(lè)器發(fā)聲的方式來(lái)說(shuō)是必不可少的。例如，如果沒(méi)有駐波的可預(yù)測(cè)性和放大效應(yīng)，弦樂(lè)器就無(wú)法發(fā)揮作用。

然而，在 RF 設(shè)計(jì)中，當(dāng)我們旨在將功率從信號(hào)鏈中的一個(gè)模塊傳輸?shù)较乱粋€(gè)模塊時(shí)，駐波是不可取的。事實(shí)上，駐波會(huì)影響不同射頻和微波系統(tǒng)的性能，從電波暗室 到微波爐等日常電器。

雖然波傳播和反射的概念并不十分復(fù)雜，但一開始可能會(huì)讓人有些困惑?？梢暬ㄈ绾螐牟贿B續(xù)處傳播和反射的方法是繪制不同配置的波動(dòng)方程。

在本文中，我們將首先推導(dǎo)所需的方程式，并使用它們通過(guò)幾個(gè)示例波形來(lái)解釋駐波現(xiàn)象。

 

傳輸線電壓和電流波動(dòng)方程

首先，讓我們推導(dǎo)出方程式。我知道這很無(wú)聊，但它們確實(shí)幫助我們了解波是如何在傳輸線上傳播和相互作用的。在本系列的前一篇文章中，我們研究了傳輸線的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)并推導(dǎo)出了電壓和電流方程。將 v s (t) = V scos(ωt) 施加到一條線上，電壓和電流波形為：

 

\[v(x,t)= A cos(\omega t-\beta x) + B cos(\omega t+\beta x)\]

 

\[i(x,t)=\frac{A}{Z_0} cos(\omega t-\beta x)- \frac{B}{Z_0} cos(\omega t+\beta x)\]

 

在哪里：

A 和 B 是常數(shù)，可以從線路輸入和輸出端口的邊界條件中找到Z 0 是特性阻抗β 是相位常數(shù)

這些等式對(duì)應(yīng)于圖 1(a) 中所示的配置，其中選擇正 x 軸方向?yàn)閺脑吹截?fù)載。如果我們用它們的相量表示這些波，則向前傳播（或入射）波和向后傳播（或反射）的電壓波將分別為 Ae -jβx 和 Be jβx，如圖 1(a) 所示。

 

圖 1. 顯示正軸方向的圖是從源到負(fù)載 (a) 然后從負(fù)載到源 (b)。

 

對(duì)于傳輸線問(wèn)題，通常選擇負(fù)載到源的正軸方向更方便，如圖1(b)所示。為了找到新的方程，我們需要用 ld 替換原始方程中的 x。如新變量 d 所示，向前行進(jìn)的波變?yōu)椋?/p>

 

\[Ae^{-j \beta x} = Ae^{-j \beta (ld)}=Ae^{-j \beta l}e^{j \beta d} = A_1 e^{j \beta d }\]

 

其中 A 1  = Ae -jβl 是一個(gè)新常數(shù)。從這里，您可以驗(yàn)證，在新的坐標(biāo)系中，反射波是 B 1 e -jβd，其中 B 1  = Be jβl。因此，總電壓和電流相量如公式 1 和 2 所示。

 

\[V(d)=A_1e^{j \beta d}+B_1e^{-j \beta d}\] 

等式 1。

 

\[I(d)=\frac{A_1}{Z_0}e^{j \beta d}-\frac{B_1}{Z_0}e^{-j \beta d}\]

等式 2。

 

這些方程可以更容易地檢查負(fù)載對(duì)波反射的影響，因?yàn)樵谶@種情況下，負(fù)載位于 d = 0，從而簡(jiǎn)化了方程。令 d = 0，在負(fù)載端得到以下方程，如方程 3 和 4 所示。

 

\[V(d=0)=A_1+B_1\]

等式 3。

 

\[I(d=0)=\frac{A_1}{Z_0}-\frac{B_1}{Z_0}\]

等式 4。

 

例如，讓我們考慮線路在開路中終止的情況。由于輸出開路 (Z L  = ∞)，輸出電流顯然為零。根據(jù)等式 4，我們有 A 1  = B 1， 因此，總電壓為 V(d = 0) = 2A 1。

因此，對(duì)于開路線路，反射電壓等于輸出端的入射電壓，此時(shí)的總電壓是入射電壓的兩倍。同樣，我們可以使用公式 3 和 4 來(lái)計(jì)算任意負(fù)載阻抗 Z L的反射波與入射波之比。這個(gè)比率是一個(gè)重要的參數(shù)，稱為反射系數(shù)，我們很快就會(huì)談到。 

 

輸入阻抗和反射系數(shù)公式

使用等式 1 和 2，我們可以找到沿線不同點(diǎn)的電壓與電流（即傳輸線的輸入阻抗）的比率。這導(dǎo)致公式 5。

 

\[Z_{in}(d) = \frac{V(d)}{I(d)}=Z_0 \frac{A_1e^{j \beta d}+B_1e^{-j \beta d}}{A_1e ^{j \beta d}-B_1 e^{-j \beta d}}\]

等式 5。

 

注意到線路負(fù)載端的線路阻抗 (d = 0) 等于負(fù)載阻抗 Z L，我們得到：

 

\[Z_L = Z_0 \frac{A_1+B_1}{A_1-B_1}\]

 

使用一點(diǎn)代數(shù)，上面的等式給出了反射電壓波與入射電壓波的比率 (B 1 /A 1 )，它在等式 6 中定義為反射系數(shù) Γ。

 

\[\Gamma = \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0}\]

等式 6。

 

上述討論表明，對(duì)于終端線路，入射波和反射波之間存在一定的關(guān)系。注意，一般來(lái)說(shuō)，反射系數(shù)是復(fù)數(shù)，Γ的幅度和相位信息都很重要。對(duì)于功率傳輸，我們嘗試匹配負(fù)載 (Z L  = Z 0 )，導(dǎo)致 Γ = 0。在這種情況下，施加到輸入端的波完全被負(fù)載吸收，不會(huì)發(fā)生反射。在這里考慮另外兩種特殊情況是有啟發(fā)性的：一條開路線路和一條短路線路，我們將在稍后討論。

雖然波傳播和反射的概念基本上并不復(fù)雜，但一開始可能會(huì)讓人感到困惑。可視化波如何傳播和從不連續(xù)處反射的方法是繪制我們?cè)谏厦骈_發(fā)的方程式。此外，值得一提的是，有許多在線模擬器可以幫助您更好地理解波傳播概念。

 

短路線

接下來(lái)，讓我們回顧一下短路線。短路時(shí)，總輸出電壓應(yīng)始終為零。此外，根據(jù)等式 6，我們有 Γ = -1。入射電壓波由下式給出：

 

\[v_i (d,t)=Real \text{ } Part \text{ }of \Big (A_1 e^{j \beta d} e^{j \omega t} \Big ) = A_1 cos(\omega t+ \beta d)\]

 

圖 2 中的頂部曲線提供了該方程在三個(gè)不同時(shí)間點(diǎn) t 1、t 2和 t 3 的曲線圖， 其中 t 1  < t 2  < t 3。

 

 

圖 2. 短路的正向電壓（頂部）、反向電壓（中間）和總電壓（底部）的示例曲線。

 

上述曲線細(xì)分，其中：

傳輸線長(zhǎng)度0.2米負(fù)載在 d = 0β 為 50 弧度/米信號(hào)頻率為 2 GHz

請(qǐng)注意入射波如何隨著時(shí)間的推移逐漸移向負(fù)載（在 d = 0 時(shí)）。上圖中的中間曲線顯示了遠(yuǎn)離負(fù)載的反射電壓。反射電壓方程為：

 

\[v_r (d,t)=Real \text{ } Part \text{ }of \Big (\Gamma A_1 e^{-j \beta d} e^{j \omega t} \Big ) = A_1 cos( \omega t - \beta d)\]

 

其中Γ設(shè)置為-1以考慮短路?？傠妷菏窍路角€中給出的入射電壓和反射電壓之和。正向電壓在線路的所有點(diǎn)（包括線路的負(fù)載端）的值和值之間波動(dòng)。然而，反射電壓取入射電壓的相反值，因此負(fù)載端的總電壓始終為零。

總電壓波有一個(gè)有趣的特征：它靜止不動(dòng)，與它的組成波不同，總電壓波不向任何方向傳播。例如，和零電壓點(diǎn)不會(huì)隨時(shí)間移動(dòng)。為了更好地說(shuō)明這一點(diǎn)，圖 3 繪制了 36 個(gè)不同時(shí)間點(diǎn)的總電壓。

 

圖 3. 顯示 36 個(gè)不同時(shí)間點(diǎn)的總電壓的圖表。

 

可以看出，零交叉點(diǎn)（節(jié)點(diǎn)）和幅度的位置（波腹）是沿線的一些固定位置。由于波不向任何方向傳播，因此稱為駐波。 

 

打開傳輸電路線

對(duì)于開路線路 (Z L  = ∞)，公式 6 得出 Γ = 1。在這種情況下，反射電壓的幅度和相位等于入射電壓。圖 4 中的頂部和中間曲線分別顯示了三個(gè)不同時(shí)間點(diǎn)開路線路上的入射和反射電壓波。

 

圖 4. 示例圖顯示了開路的正向電壓（頂部）、反向電壓（中間）和總電壓（底部）。

 

請(qǐng)注意，入射波和反射波在 d = 0 時(shí)具有相同的值。因此，總電壓（底部曲線）是負(fù)載端入射電壓的兩倍。由于 Γ = 1，反射電流 I r 也與入射電流 I i具有相同的幅度和相位。然而，負(fù)載端的總電流為 I i  - I r  = 0，這并不奇怪，因?yàn)樨?fù)載是開路的。

此外，我們可以再次觀察到總電壓是一個(gè)駐波。這在圖 5 中得到了的說(shuō)明，它繪制了 36 個(gè)不同時(shí)間點(diǎn)的總電壓波形。

 

圖 5. 顯示開路 36 個(gè)不同時(shí)間點(diǎn)的總電壓波形的示例圖。

 

計(jì)算端接線路的任意負(fù)載

接下來(lái)，讓我們使用方程來(lái)檢查 Γ = 0.5 的終止線。圖 6 繪制了任意時(shí)間的入射和反射電壓波。

 

圖 6. 顯示入射和反射電壓波的繪圖。

 

這兩個(gè)波沿相反的方向傳播。你應(yīng)該可以想象，在某一時(shí)間點(diǎn)和沿線的某個(gè)特定位置，兩個(gè)波的峰值會(huì)重合，產(chǎn)生總電壓波的值。這在圖 7 中進(jìn)行了說(shuō)明。

 

圖 7. 示例圖顯示了入射波和反射波的峰值重合時(shí)總電壓波的值。

 

此外，在其他某個(gè)時(shí)間點(diǎn)，沿線的特定位置將“看到”較大波的峰值和較小波的值，如圖 8 所示。

 

圖 8. 顯示總電壓波的示例圖，其中入射波和反射波具有相反的波峰和波谷。 

 

在這些點(diǎn)上，總電壓波的幅度處于值。在我們的示例中，前向波和反射波的振幅分別為 1 和 0.5。因此，總電壓波的振幅為 1 - 0.5 = 0.5。為了更好地觀察沿線不同點(diǎn)的電壓幅度，圖 9 繪制了 36 個(gè)不同實(shí)例的總電壓波形。

 

圖 9. 顯示 36 個(gè)不同實(shí)例的總電壓波形的示例圖。

  

該圖讓您了解線上不同點(diǎn)的波動(dòng)幅度。請(qǐng)注意，雖然 d = 0.1881 m 等點(diǎn)在 ±1.5 V 之間波動(dòng)，但還有其他點(diǎn)。例如，d = 0.1568 m，其振幅要小得多，在±0.5 V 之間波動(dòng)。

您可能會(huì)問(wèn)的一個(gè)問(wèn)題是，總波是在移動(dòng)還是靜止不動(dòng)？圖 10 顯示了一些連續(xù)時(shí)間點(diǎn) (t 1  < t 2  < ...< t 6 )的較少數(shù)量的總電壓圖來(lái)回答這個(gè)問(wèn)題。   

 

圖 10. 顯示連續(xù)時(shí)間點(diǎn)較少總電壓圖的示例。 

 

該圖顯示，隨著時(shí)間的推移，波向負(fù)載傳播。請(qǐng)注意，雖然入射波和反射波的幅度是恒定的，但組合電壓的幅度會(huì)隨時(shí)間上升和下降。