如何培養(yǎng)數(shù)學(xué)邏輯能力，數(shù)學(xué)思維及對(duì)數(shù)學(xué)的敏感（指在高中）

【專家解說(shuō)】：數(shù)學(xué)直覺(jué)的含義 數(shù)學(xué)直覺(jué)是一種直接反映數(shù)學(xué)對(duì)象結(jié)構(gòu)關(guān)系的心智活動(dòng)形式，它是人腦對(duì)于數(shù)學(xué)對(duì)象事物的某種直接的領(lǐng)悟或洞察。它在運(yùn)用知識(shí)組塊和直感時(shí)都得進(jìn)行適當(dāng)?shù)募庸?，將腦中貯存的與當(dāng)前問(wèn)題相似的塊，通過(guò)不同的直感進(jìn)行聯(lián)結(jié)，它對(duì)問(wèn)題的分解、改造整合加工具有創(chuàng)造性的加工。 數(shù)學(xué)直覺(jué)，可以簡(jiǎn)稱為數(shù)覺(jué)（有很多人認(rèn)為它屬于形象思維），但是并非數(shù)學(xué)家才能產(chǎn)生數(shù)學(xué)的直覺(jué)，對(duì)于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)已經(jīng)達(dá)到一定水平的人來(lái)說(shuō)，直覺(jué)是可能產(chǎn)生的，也是可以加以培養(yǎng)的。數(shù)學(xué)直覺(jué)的基礎(chǔ)在于數(shù)學(xué)知識(shí)的組塊和數(shù)學(xué)形象直感的生長(zhǎng)。因此如果一個(gè)學(xué)生在解決數(shù)學(xué)新問(wèn)題時(shí)能夠?qū)λ慕Y(jié)論作出直接的迅速的領(lǐng)悟，那么我們就應(yīng)該認(rèn)為這是數(shù)學(xué)直覺(jué)的表現(xiàn)。 數(shù)學(xué)是對(duì)客觀世界的反映，它是人們對(duì)生活現(xiàn)象的世界運(yùn)行的秩序直覺(jué)的體現(xiàn)，再以數(shù)學(xué)的形式將思考的理性過(guò)程格式化。數(shù)學(xué)最初的概念是基于直覺(jué)，數(shù)學(xué)在一定程度上就是在問(wèn)題解決中得到發(fā)展，問(wèn)題解決也離不開直覺(jué)，下面我們就以數(shù)學(xué)問(wèn)題的證明為例，來(lái)考察直覺(jué)在證明過(guò)程中所起的作用。 一個(gè)數(shù)學(xué)證明可以分解為許多基本運(yùn)算或多個(gè)“演繹推理元素”，一個(gè)成功的組合，仿佛是一條從出發(fā)點(diǎn)到目的地的通道，一個(gè)個(gè)基本運(yùn)算和“演繹推理元素”就是這條通道的一個(gè)個(gè)路段，當(dāng)一個(gè)成功的證明擺在我們面前開始，邏輯可以幫助我們確信沿著這條路必定能順利地到達(dá)目的地，但是邏輯卻不能告訴我們，為什么這些路徑的選取與這樣的組合可以構(gòu)成一條通道。事實(shí)上，出發(fā)不久就會(huì)遇上叉路口，也就是遇上了正確選擇構(gòu)成通道的路段的問(wèn)題。龐加萊認(rèn)為，即使能復(fù)寫一個(gè)成功的數(shù)學(xué)證明，但不知道是什么東西造成了證明的一致性?！?，這些元素安置的順序比元素本身更加重要。笛卡爾認(rèn)為在數(shù)學(xué)推理中的每一步，直覺(jué)能力都是不可缺少的。就好似我們平時(shí)打籃球，要等靠球感一樣，在快速運(yùn)動(dòng)中來(lái)不及去作邏輯判斷，動(dòng)作只是下意識(shí)的，而下意識(shí)的動(dòng)作正是平時(shí)訓(xùn)練產(chǎn)生的一種直覺(jué)。 在教育過(guò)程中，老師由于把證明過(guò)程過(guò)分的嚴(yán)格化、程序化，學(xué)生只是見(jiàn)到一具僵硬的邏輯外殼，直覺(jué)的光環(huán)被掩蓋住了，而把成功往往歸功于邏輯的功勞，對(duì)自己的直覺(jué)反而不覺(jué)得。學(xué)生的內(nèi)在潛能沒(méi)有被激發(fā)出來(lái)，學(xué)生的興趣沒(méi)有被調(diào)動(dòng)，得不到思維的真正樂(lè)趣?！吨袊?guó)青年報(bào)》曾報(bào)道“約30%的初中生學(xué)習(xí)了平面幾何推理之后，喪失了對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣”，這種現(xiàn)象應(yīng)該引起數(shù)學(xué)教育者的重視與反思。 二、 數(shù)學(xué)直覺(jué)思維的主要特點(diǎn) 直覺(jué)思維有以下四個(gè)主要特點(diǎn)： （1） 簡(jiǎn)約性。直覺(jué)思維是對(duì)思維對(duì)象從整體上考察，調(diào)動(dòng)自己的全部知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)豐富的想象作出的敏銳而迅速的假設(shè)，猜想或判斷，它省去了一步一步分析推理的中間環(huán)節(jié)，而采取了“跳躍式”的形式。它是一瞬間的思維火花，是長(zhǎng)期積累上的一種升華，是思維者的靈感和頓悟，是思維過(guò)程的高度簡(jiǎn)化，但是它卻清晰的觸及到事物的“本質(zhì)”。 （2） 經(jīng)驗(yàn)性。直覺(jué)所運(yùn)用的知識(shí)組塊和形象直感都是經(jīng)驗(yàn)的積累和升華。直覺(jué)不斷地組合老經(jīng)驗(yàn)，形成新經(jīng)驗(yàn)，從而不斷提高直覺(jué)的水平。 （3） 迅速性。直覺(jué)解決問(wèn)題的過(guò)程短暫，反應(yīng)靈敏，領(lǐng)悟直接。 （4） 或然性。直覺(jué)判斷的結(jié)果不一定正確。直覺(jué)判斷的結(jié)果不一定都正確，這是由于組塊本身及其聯(lián)結(jié)存在模糊性所致。 三、 數(shù)學(xué)直覺(jué)思維的培養(yǎng) 從前面的分析可知，培養(yǎng)數(shù)學(xué)直覺(jué)思維的重點(diǎn)是重視數(shù)學(xué)直覺(jué)。徐利治教授指出：“數(shù)學(xué)直覺(jué)是可以后天培養(yǎng)的，實(shí)際上每個(gè)人的數(shù)學(xué)直覺(jué)也是不斷提高的。”也就是說(shuō)數(shù)學(xué)直覺(jué)是可以通過(guò)訓(xùn)練提高的。美國(guó)著名心理學(xué)家布魯納指出：“直覺(jué)思維、預(yù)感的訓(xùn)練，是正式的學(xué)術(shù)學(xué)科和日常生活中創(chuàng)造性思維的很受忽視而重要的特征?！辈⑻岢隽恕霸鯓硬庞锌赡軓脑缒昙?jí)起便開始發(fā)展學(xué)生的直覺(jué)天賦”。我們的學(xué)生，特別是差生，都有著極豐富的直覺(jué)思維的潛能，關(guān)鍵在于教師的啟發(fā)誘導(dǎo)和有意培養(yǎng)。在明確了直覺(jué)的意義的基礎(chǔ)上，就可以從下列各個(gè)方面入手來(lái)培養(yǎng)數(shù)學(xué)直覺(jué)： 1、 重視數(shù)學(xué)基本問(wèn)題和基本方法的牢固掌握和應(yīng)用，以形成并豐富數(shù)學(xué)知識(shí)組塊。 直覺(jué)不是靠“機(jī)遇”，直覺(jué)的獲得雖然是有偶然性，但決不是無(wú)緣無(wú)故的憑空臆想，而是以扎實(shí)的知識(shí)為基礎(chǔ)。若沒(méi)有深厚的功底，是不會(huì)迸發(fā)出思維的火花。所以對(duì)數(shù)學(xué)基本問(wèn)題和基本方法的牢固掌握和應(yīng)用是很重要的。所謂知識(shí)組塊又稱知識(shí)反應(yīng)塊。它們由數(shù)學(xué)中的定義、定理、公式、法則等組成，并集中地反映在一些基本問(wèn)題，典型題型或方法模式。許多其他問(wèn)題的解決往往可以歸結(jié)成一個(gè)或幾個(gè)基本問(wèn)題，化為某類典型題型，或者運(yùn)用某種方式模式。這些知識(shí)組塊由于不一定以定理、性質(zhì)、法則等形式出現(xiàn)，而是分布于例題或問(wèn)題之中，因此不容易引起師生的特別重視，往往被淹沒(méi)在題海之中，如何將它們篩選出來(lái)加以精練是數(shù)學(xué)中值得研究的一個(gè)重要課題。 在解數(shù)學(xué)題時(shí)，主體在明了題意并抓住題目條件或結(jié)論的特征之后，往往一個(gè)念頭閃現(xiàn)就描繪出了解題的大致思路。這是尖子學(xué)生經(jīng)常會(huì)碰到的事情，在他們大腦中貯存著比一般學(xué)生更多的知識(shí)組塊和形象直感，因此快速反應(yīng)的數(shù)學(xué)直覺(jué)就應(yīng)運(yùn)而生。 例：已知 ，求證： 分析 觀察題目條件與結(jié)論的式結(jié)構(gòu)后會(huì)閃現(xiàn)兩個(gè)念頭：（1）在a、b、c為任意值時(shí)，等式通常是不成立的，從而在a、b、c之間存在比題給條件更簡(jiǎn)單的關(guān)系；（2）作為特例考慮，顯然三個(gè)數(shù)中有兩個(gè)互為相反數(shù)時(shí)，條件與結(jié)論均成立，這意味著條件式子含有因式（a+b）或(b+c)或(c+a)，由于輪換對(duì)稱性，則必含有（a+b）(b+c) (c+a)于是數(shù)學(xué)直覺(jué)形成，只需化簡(jiǎn)條件至既定目標(biāo)即可推得結(jié)論。這個(gè)直覺(jué)來(lái)源于過(guò)去的運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)—知識(shí)組塊，也來(lái)源于對(duì)題給的圖式表象的象質(zhì)轉(zhuǎn)換直感。 2、強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合，發(fā)展幾何思維與類幾何思維。 數(shù)學(xué)形象直感是數(shù)學(xué)直覺(jué)思維的源泉之一，而數(shù)學(xué)形象直感是一種幾何直覺(jué)或空間觀念的表現(xiàn)，對(duì)于幾何問(wèn)題要培養(yǎng)幾何自身的變換、變形的直觀感受能力。對(duì)于非幾何問(wèn)題則要用幾何眼光去審視分析就能逐步過(guò)渡到類幾何思維。 例2：若a＜b＜c，求函數(shù)y=|x－a|+|x－b|+|x－c|的最小值。 分析：數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式AB=|xA－xB|,而數(shù)a、b、c在數(shù)軸上大致位置如圖所示 a b c 求y=|x－a|+|x－b|+|x－c|的最小值。即在數(shù)軸上求點(diǎn)x，使它到a、b、c的距離之和最小。顯然當(dāng)x定在a、c之間，|x－a|+|x－c|最小。所以 當(dāng)x=b時(shí)，y=|x－a|+|x－b|+|x－c|的值最小。 3、重視整體分析，提倡塊狀思維。 在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)要教會(huì)學(xué)習(xí)從宏觀上進(jìn)行整體分析，抓住問(wèn)題的框架結(jié)構(gòu)和本質(zhì)關(guān)系，從思維策略的角度確定解題的入手方向和思路。在整體分析的基礎(chǔ)上進(jìn)行大步驟思維，使學(xué)生在具有相應(yīng)的知識(shí)基礎(chǔ)和已達(dá)到一定熟練程度的情況下能變更和化歸問(wèn)題，分析和辨認(rèn)組成問(wèn)題的知識(shí)集成塊，培養(yǎng)思維跳躍的能力。在練習(xí)中注意方法的探求，思路的尋找和類型的識(shí)別，養(yǎng)成簡(jiǎn)縮邏輯推理過(guò)程，迅速作出直覺(jué)判斷的洞察能力。 例3 ：I為△ABC的內(nèi)心，AI、BI、CI的延長(zhǎng)線分別交△ABC的外接圓于D、E、F，求證：AD+BE+CF＞AB+BC+CA D E F B A C I 分析：細(xì)心觀察圖形，尋求可運(yùn)用的知識(shí)組塊。有兩個(gè)形象直感不難獲得：（1）由內(nèi)心性質(zhì)知DI=DB=DC；（2）應(yīng)運(yùn)用三角形不等式的適當(dāng)組合構(gòu)成特征不等式，由此得到啟發(fā)可將AD分成兩段推證（BE、CF類同），即DB+DC＞BC可以推出DI＞ BC及AI+IB＞AB。再得另外四個(gè)類似不等式后，將它們同向相加即可推至結(jié)論。 4、鼓勵(lì)大膽猜測(cè)，養(yǎng)成善于猜想的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣。 數(shù)學(xué)猜想是在數(shù)學(xué)證明之前構(gòu)想數(shù)學(xué)命題思維過(guò)程。“數(shù)學(xué)事實(shí)首先是被猜想，然后才被證實(shí)?！辈孪胧且环N合情推理，它與論證所用的邏輯推理相輔相成。對(duì)于未給出結(jié)論的數(shù)學(xué)問(wèn)題，猜想的形成有利于解題思路的正確誘導(dǎo)；對(duì)于已有結(jié)論的問(wèn)題，猜想也是尋求解題思維策略的重要手段。數(shù)學(xué)猜想是有一定規(guī)律的，并且要以數(shù)學(xué)知識(shí)的經(jīng)驗(yàn)為支柱。但是培養(yǎng)敢于猜想、善于探索的思維習(xí)慣是形成數(shù)學(xué)直覺(jué)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，獲得數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的基本素質(zhì)。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，既要強(qiáng)調(diào)思維的嚴(yán)密性，結(jié)果的正確性，也不應(yīng)忽視思維的探索性和發(fā)現(xiàn)性，即應(yīng)重視數(shù)學(xué)直覺(jué)猜想的合理性和必要性。 例4：如圖，正方形ABCD中，BC=2厘米，現(xiàn)有兩點(diǎn)E、F，分別從點(diǎn)B、點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)E沿線BA以1厘米/秒的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F沿折線A—D—C以2厘米/秒的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)E離開點(diǎn)B的時(shí)間為t（秒）（1≤t≤2），EF與 AC相交于點(diǎn)P，問(wèn)點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P的位置是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不發(fā)生變化，請(qǐng)給予證明，并求AP∶PC的值。 猜想：點(diǎn)P的位置不變。分析：因?yàn)辄c(diǎn)E離開點(diǎn)B的時(shí)間為t（秒），所以AE=(2－1t)厘米。因?yàn)辄c(diǎn)F離開點(diǎn)A的時(shí)間為t（秒），速度為2厘米/秒，所以CF=(4－2t)厘米。則： E F D A B C P 由于AE‖F(xiàn)C，因式AP∶PC=AE∶CF=1∶2，所以點(diǎn)P的位置不變。 數(shù)學(xué)直覺(jué)思維能力的培養(yǎng)是一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程。要作一名好的教師，就必須在數(shù)學(xué)教育的每一個(gè)角落滲透對(duì)學(xué)生的直覺(jué)思維的培養(yǎng)，讓學(xué)生有敏捷的思維，靈活的解題思路和很強(qiáng)的對(duì)以往知識(shí)結(jié)構(gòu)綜合利用能力。這不僅有利于對(duì)學(xué)生的智力開發(fā)，更有利于對(duì)學(xué)生邏輯思維的培養(yǎng)。 主要參考文獻(xiàn) 1、錢學(xué)森主編，關(guān)于思維科學(xué)。上海：上海人發(fā)出版社，1986 2、孔慧英，梅智超編著，現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想概論。北京：中國(guó)科學(xué)技術(shù)出版社，1993 3、朱智賢、林崇德，思維發(fā)展心理。北京師范大學(xué)出版社，1990 4、郭思樂(lè)、喻偉著，數(shù)學(xué)思維教育論。上海：上海教育出版社，1997 5、席振偉著，數(shù)學(xué)的思維方式。南京：江蘇教育出版社，1995