勾股定理的十種證法

【專家解說(shuō)】：三角學(xué)里有一個(gè)很重要的定理，我國(guó)稱它為勾股定理，又叫商高定理。因?yàn)椤吨荀滤憬?jīng)》提到，商高說(shuō)過(guò)"勾三股四弦五"的話。下面介紹其中的幾種證明。 最初的證明是分割型的。設(shè)a、b為直角三角形的直角邊，c為斜邊?？紤]下圖兩個(gè)邊長(zhǎng)都是a+b的正方形A、B。將A分成六部分，將B分成五部分。由于八個(gè)小直角三角形是全等的，故從等量中減去等量，便可推出：斜邊上的正方形等于兩個(gè)直角邊上的正方形之和。這里B中的四邊形是邊長(zhǎng)為c的正方形是因?yàn)?，直角三角形三個(gè)內(nèi)角和等于兩個(gè)直角。如上證明方法稱為相減全等證法。B圖就是我國(guó)《周髀算經(jīng)》中的“弦圖”。 下圖是H．珀里加爾（Perigal）在1873年給出的證明，它是一種相加全等證法。其實(shí)這種證明是重新發(fā)現(xiàn)的，因?yàn)檫@種劃分方法，labitibn Qorra（826～901）已經(jīng)知道。（如：右圖）下面的一種證法，是H•E•杜登尼（Dudeney）在1917年給出的。用的也是一種相加全等的證法。 如右圖所示，邊長(zhǎng)為b的正方形的面積加上邊長(zhǎng)為a的正方形的面積，等于邊長(zhǎng)為c的正方形面積。 下圖的證明方法，據(jù)說(shuō)是L•達(dá)•芬奇（da Vinci, 1452～1519）設(shè)計(jì)的，用的是相減全等的證明法。 歐幾里得（Euclid）在他的《原本》第一卷的命題47中，給出了勾股定理的一個(gè)極其巧妙的證明，如次頁(yè)上圖。由于圖形很美，有人稱其為“修士的頭巾”，也有人稱其為“新娘的轎椅”，實(shí)在是有趣。華羅庚教授曾建議將此圖發(fā)往宇宙，和“外星人”去交流。其證明的梗概是： (AC)2=2△JAB=2△CAD=ADKL。 同理，(BC)2=KEBL 所以 (AC)2+(BC)2=ADKL+KEBL=(BC)2 印度數(shù)學(xué)家兼天文學(xué)家婆什迦羅（Bhaskara，活躍于1150年前后）對(duì)勾股定理給出一種奇妙的證明，也是一種分割型的證明。如下圖所示，把斜邊上的正方形劃分為五部分。其中四部分都是與給定的直角三角形全等的三角形；一部分為兩直角邊之差為邊長(zhǎng)的小正方形。很容易把這五部分重新拼湊在一起，得到兩個(gè)直角邊上的正方形之和。事實(shí)上， 婆什迦羅還給出了下圖的一種證法。畫(huà)出直角三角形斜邊上的高，得兩對(duì)相似三角形，從而有 c/b=b/m， c/a=a/n, cm=b2 cn=a2 兩邊相加得 a2+b2=c(m+n)=c2 這個(gè)證明，在十七世紀(jì)又由英國(guó)數(shù)學(xué)家J．沃利斯(Wallis, 1616～1703)重新發(fā)現(xiàn)。 有幾位美國(guó)總統(tǒng)與數(shù)學(xué)有著微妙聯(lián)系。G•華盛頓曾經(jīng)是一個(gè)著名的測(cè)量員。T•杰弗遜曾大力促進(jìn)美國(guó)高等數(shù)學(xué)教育。A．林肯是通過(guò)研究歐幾里得的《原本》來(lái)學(xué)習(xí)邏輯的。更有創(chuàng)造性的是第十七任總統(tǒng)J．A．加菲爾德（Garfield, 1831～1888），他在學(xué)生時(shí)代對(duì)初等數(shù)學(xué)就具有強(qiáng)烈的興趣和高超的才能。在1876年，（當(dāng)時(shí)他是眾議院議員，五年后當(dāng)選為美國(guó)總統(tǒng)）給出了勾股定理一個(gè)漂亮的證明，曾發(fā)表于《新英格蘭教育雜志》。證明的思路是，利用梯形和直角三角形面積公式。如次頁(yè)圖所示，是由三個(gè)直角三角形拼成的直角梯形。用不同公式，求相同的面積得 即 a2+2ab+b2=2ab+c2 a2+b2=c2 這種證法，在中學(xué)生學(xué)習(xí)幾何時(shí)往往感興趣。 關(guān)于這個(gè)定理，有許多巧妙的證法（據(jù)說(shuō)有近400種），下面向同學(xué)們介紹幾種，它們都是用拼圖的方法來(lái)證明的。 證法1 如圖26-2，在直角三角形ABC的外側(cè)作正方形ABDE，ACFG，BCHK，它們的面積分別為c2，b2和a2。我們只要證明大正方形面積等于兩個(gè)小正方形面積之和即可。 過(guò)C引CM‖BD，交AB于L，連接BC，CE。因?yàn)? AB=AE，AC=AG ∠CAE=∠BAG， 所以 △ACE≌△AGB SAEML=SACFG (1) 同法可證 SBLMD=SBKHC (2) (1)+(2)得 SABDE=SACFG+SBKHC， 即 c2=a2+b2 證法2 如圖26-3（趙君卿圖），用八個(gè)直角三角形ABC拼成一個(gè)大的正方形CFGH，它的邊長(zhǎng)是a+b，在它的內(nèi)部有一個(gè)內(nèi)接正方形ABED，它的邊長(zhǎng)為c，由圖可知。 SCFGH=SABED+4×SABC， 所以 a2+b2=c2 證法3 如圖26-4（梅文鼎圖）。 在直角△ABC的斜邊AB上向外作正方形ABDE，在直角邊AC上又作正方形ACGF?？梢宰C明（從略），延長(zhǎng)GF必過(guò)E；延長(zhǎng)CG到K，使GK=BC=a，連結(jié)KD，作DH⊥CF于H，則DHCK是邊長(zhǎng)為a的正方形。設(shè) 五邊形ACKDE的面積=S 一方面， S=正方形ABDE面積+2倍△ABC面積 =c2+ab (1) 另一方面， S=正方形ACGF面積+正方形DHGK面積 +2倍△ABC面積 =b2+a2+ab. (2) 由(1)，(2)得 c2=a2+b2 證法4 如圖26-5（項(xiàng)名達(dá)圖），在直角三角形ABC的斜邊上作正方形ABDE，又以直角三角形ABC的兩個(gè)直角邊CA，CB為基礎(chǔ)完成一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形BFGJ（圖26-5）?？梢宰C明（從略），GF的延長(zhǎng)線必過(guò)D。延長(zhǎng)AG到K，使GK=a，又作EH⊥GF于H，則EKGH必為邊長(zhǎng)等于a的正方形。 設(shè)五邊形EKJBD的面積為S。一方面 S=SABDE+2SABC=c2+ab (1) 另一方面， S=SBEFG+2•S△ABC+SGHFK =b2+ab+a2 由(1)，(2) 得出論證 都是用面積來(lái)進(jìn)行驗(yàn)證：一個(gè)大的面積等于幾個(gè)小面積的和。利用同一個(gè)面積的不同表示法來(lái)得到等式，從而化簡(jiǎn)得到勾股定理）圖見(jiàn)http://ett.edaedu.com/21010000/vcm/0720ggdl.doc 勾股定理是數(shù)學(xué)上證明方法最多的定理之一——有四百多種證法！但有記載的第一個(gè)證明——畢達(dá)哥拉斯的證明方法已經(jīng)失傳。目前所能見(jiàn)到的最早的一種證法，屬于古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得。他的證法采用演繹推理的形式，記載在數(shù)學(xué)巨著《幾何原本》里。在中國(guó)古代的數(shù)學(xué)家中，最早對(duì)勾股定理進(jìn)行證明的是三國(guó)時(shí)期吳國(guó)的數(shù)學(xué)家趙爽。趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用數(shù)形結(jié)合的方法，給出了勾股定理的詳細(xì)證明。在這幅“勾股圓方圖”中，以弦為邊長(zhǎng)得到正方形ABDE是由4個(gè)相等的直角三角形再加上中間的那個(gè)小正方形組成的。每個(gè)直角三角形的面積為ab/2；中間的小正方形邊長(zhǎng)為b-a，則面積為（b-a） 2 。于是便可得如下的式子： 4×（ab/2）+（b-a） 2 =c 2 化簡(jiǎn)后便可得： a 2 +b 2 =c 2 亦即：c=（a 2 +b 2 ） (1/2) 趙爽的這個(gè)證明可謂別具匠心，極富創(chuàng)新意識(shí)。他用幾何圖形的截、割、拼、補(bǔ)來(lái)證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系，既具嚴(yán)密性，又具直觀性，為中國(guó)古代以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何緊密結(jié)合、互不可分的獨(dú)特風(fēng)格樹(shù)立了一個(gè)典范。 以下網(wǎng)址為趙爽的“勾股圓方圖”：http://cimg.163.com/catchpic/0/01/01F9D756BE31CE31F761A75CACC1410C.gif 以后的數(shù)學(xué)家大多繼承了這一風(fēng)格并且有發(fā)展， 只是具體圖形的分合移補(bǔ)略有不同而已。 例如稍后一點(diǎn)的劉徽在證明勾股定理時(shí)也是用以形證數(shù)的方法，劉徽用了“出入相補(bǔ)法”即剪貼證明法，他把勾股為邊的正方形上的某些區(qū)域剪下來(lái)(出)，移到以弦為邊的正方形的空白區(qū)域內(nèi)(入)，結(jié)果剛好填滿，完全用圖解法就解決了問(wèn)題。 以下網(wǎng)址為劉徽的“青朱出入圖”：http://cimg.163.com/catchpic/A/A7/A7070D771214459D67A75E8675AA4DCB.gif 勾股定理的應(yīng)用非常廣泛。我國(guó)戰(zhàn)國(guó)時(shí)期另一部古籍《路史后記十二注》中就有這樣的記載："禹治洪水決流江河，望山川之形，定高下之勢(shì)，除滔天之災(zāi)，使注東海，無(wú)漫溺之患，此勾股之所系生也。"這段話的意思是說(shuō)：大禹為了治理洪水，使不決流江河，根據(jù)地勢(shì)高低，決定水流走向，因勢(shì)利導(dǎo)，使洪水注入海中，不再有大水漫溺的災(zāi)害，是應(yīng)用勾股定理的結(jié)果。 勾股定理在我們生活中有很大范圍的運(yùn)用.