2009高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目

【專(zhuān)家解說(shuō)】：2009高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目 (請(qǐng)先閱讀“全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽論文格式規(guī)范”) A題 制動(dòng)器試驗(yàn)臺(tái)的控制方法分析 汽車(chē)的行車(chē)制動(dòng)器(以下簡(jiǎn)稱(chēng)制動(dòng)器)聯(lián)接在車(chē)輪上，它的作用是在行駛時(shí)使車(chē)輛減速或者停止。制動(dòng)器的設(shè)計(jì)是車(chē)輛設(shè)計(jì)中最重要的環(huán)節(jié)之一，直接影響著人身和車(chē)輛的安全。為了檢驗(yàn)設(shè)計(jì)的優(yōu)劣，必須進(jìn)行相應(yīng)的測(cè)試。在道路上測(cè)試實(shí)際車(chē)輛制動(dòng)器的過(guò)程稱(chēng)為路試，其方法為:車(chē)輛在指定路面上加速到指定的速度;斷開(kāi)發(fā)動(dòng)機(jī)的輸出，讓車(chē)輛依慣性繼續(xù)運(yùn)動(dòng);以恒定的力踏下制動(dòng)踏板，使車(chē)輛完全停止下來(lái)或車(chē)速降到某數(shù)值以下;在這一過(guò)程中，檢測(cè)制動(dòng)減速度等指標(biāo)。假設(shè)路試時(shí)輪胎與地面的摩擦力為無(wú)窮大，因此輪胎與地面無(wú)滑動(dòng)。 為了檢測(cè)制動(dòng)器的綜合性能，需要在各種不同情況下進(jìn)行大量路試。但是，車(chē)輛設(shè)計(jì)階段無(wú)法路試，只能在專(zhuān)門(mén)的制動(dòng)器試驗(yàn)臺(tái)上對(duì)所設(shè)計(jì)的路試進(jìn)行模擬試驗(yàn)。模擬試驗(yàn)的原則是試驗(yàn)臺(tái)上制動(dòng)器的制動(dòng)過(guò)程與路試車(chē)輛上制動(dòng)器的制動(dòng)過(guò)程盡可能一致。通常試驗(yàn)臺(tái)僅安裝、試驗(yàn)單輪制動(dòng)器，而不是同時(shí)試驗(yàn)全車(chē)所有車(chē)輪的制動(dòng)器。制動(dòng)器試驗(yàn)臺(tái)一般由安裝了飛輪組的主軸、驅(qū)動(dòng)主軸旋轉(zhuǎn)的電動(dòng)機(jī)、底座、施加制動(dòng)的輔助裝置以及測(cè)量和控制系統(tǒng)等組成。被試驗(yàn)的制動(dòng)器安裝在主軸的一端，當(dāng)制動(dòng)器工作時(shí)會(huì)使主軸減速。試驗(yàn)臺(tái)工作時(shí)，電動(dòng)機(jī)拖動(dòng)主軸和飛輪旋轉(zhuǎn)，達(dá)到與設(shè)定的車(chē)速相當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)速(模擬實(shí)驗(yàn)中，可認(rèn)為主軸的角速度與車(chē)輪的角速度始終一致)后電動(dòng)機(jī)斷電同時(shí)施加制動(dòng)，當(dāng)滿(mǎn)足設(shè)定的結(jié)束條件時(shí)就稱(chēng)為完成一次制動(dòng)。 路試車(chē)輛的指定車(chē)輪在制動(dòng)時(shí)承受載荷。將這個(gè)載荷在車(chē)輛平動(dòng)時(shí)具有的能量(忽略車(chē)輪自身轉(zhuǎn)動(dòng)具有的能量)等效地轉(zhuǎn)化為試驗(yàn)臺(tái)上飛輪和主軸等機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)具有的能量，與此能量相應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(以下轉(zhuǎn)動(dòng)慣量簡(jiǎn)稱(chēng)為慣量)在本題中稱(chēng)為等效的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。試驗(yàn)臺(tái)上的主軸等不可拆卸機(jī)構(gòu)的慣量稱(chēng)為基礎(chǔ)慣量。飛輪組由若干個(gè)飛輪組成，使用時(shí)根據(jù)需要選擇幾個(gè)飛輪固定到主軸上，這些飛輪的慣量之和再加上基礎(chǔ)慣量稱(chēng)為機(jī)械慣量。例如，假設(shè)有4個(gè)飛輪，其單個(gè)慣量分別是:10、20、40、80 kg?m2，基礎(chǔ)慣量為10 kg?m2，則可以組成10，20，30，…，160 kg?m2的16種數(shù)值的機(jī)械慣量。但對(duì)于等效的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為45.7 kg?m2的情況，就不能精確地用機(jī)械慣量模擬試驗(yàn)。這個(gè)問(wèn)題的一種解決方法是:把機(jī)械慣量設(shè)定為40 kg?m2，然后在制動(dòng)過(guò)程中，讓電動(dòng)機(jī)在一定規(guī)律的電流控制下參與工作，補(bǔ)償由于機(jī)械慣量不足而缺少的能量，從而滿(mǎn)足模擬試驗(yàn)的原則。 一般假設(shè)試驗(yàn)臺(tái)采用的電動(dòng)機(jī)的驅(qū)動(dòng)電流與其產(chǎn)生的扭矩成正比(本題中比例系數(shù)取為1.5 A/N?m);且試驗(yàn)臺(tái)工作時(shí)主軸的瞬時(shí)轉(zhuǎn)速與瞬時(shí)扭矩是可觀測(cè)的離散量。這個(gè)過(guò)程逐次進(jìn)行，直至完成制動(dòng)。 評(píng)價(jià)控制方法優(yōu)劣的一個(gè)重要數(shù)量指標(biāo)是能量誤差的大小，本題中的能量誤差是指所設(shè)計(jì)的路試時(shí)的制動(dòng)器與相對(duì)應(yīng)的實(shí)驗(yàn)臺(tái)上制動(dòng)器在制動(dòng)過(guò)程中消耗的能量之差。通常不考慮觀測(cè)誤差、隨機(jī)誤差和連續(xù)問(wèn)題離散化所產(chǎn)生的誤差。 現(xiàn)在要求你們解答以下問(wèn)題: 1. 設(shè)車(chē)輛單個(gè)前輪的滾動(dòng)半徑為0.286 m，制動(dòng)時(shí)承受的載荷為6230 N，求等效的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 2. 飛輪組由3個(gè)外直徑1 m、內(nèi)直徑0.2 m的環(huán)形鋼制飛輪組成，厚度分別為0.0392 m、0.0784 m、0.1568 m，鋼材密度為7810 kg/m3，基礎(chǔ)慣量為10 kg?m2，問(wèn)可以組成哪些機(jī)械慣量?設(shè)電動(dòng)機(jī)能補(bǔ)償?shù)哪芰肯鄳?yīng)的慣量的范圍為 [-30, 30] kg?m2，對(duì)于問(wèn)題1中得到的等效的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，需要用電動(dòng)機(jī)補(bǔ)償多大的慣量? 3. 建立電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)電流依賴(lài)于可觀測(cè)量的數(shù)學(xué)模型。 在問(wèn)題1和問(wèn)題2的條件下，假設(shè)制動(dòng)減速度為常數(shù)，初始速度為50 km/h，制動(dòng)5.0秒后車(chē)速為零，計(jì)算驅(qū)動(dòng)電流。 4. 對(duì)于與所設(shè)計(jì)的路試等效的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為48 kg?m2，機(jī)械慣量為35 kg?m2，主軸初轉(zhuǎn)速為514轉(zhuǎn)/分鐘，末轉(zhuǎn)速為257轉(zhuǎn)/分鐘，時(shí)間步長(zhǎng)為10 ms的情況，用某種控制方法試驗(yàn)得到的數(shù)據(jù)見(jiàn)附表。請(qǐng)對(duì)該方法執(zhí)行的結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)。 5. 按照第3問(wèn)導(dǎo)出的數(shù)學(xué)模型，給出根據(jù)前一個(gè)時(shí)間段觀測(cè)到的瞬時(shí)轉(zhuǎn)速與/或瞬時(shí)扭矩，設(shè)計(jì)本時(shí)間段電流值的計(jì)算機(jī)控制方法，并對(duì)該方法進(jìn)行評(píng)價(jià)。 6. 第5問(wèn)給出的控制方法是否有不足之處?如果有，請(qǐng)重新設(shè)計(jì)一個(gè)盡量完善的計(jì)算機(jī)控制方法，并作評(píng)價(jià)。