數(shù)學(xué)小論文 小學(xué)的約300~500字

【專家解說】：<<微元法淺析>> [摘要]此文中主要論述了微元法的基本概念、解題步驟、及其應(yīng)用和案例分析。 [關(guān)鍵詞]微積分極限微元 “微元法”通俗地說就是把研究對(duì)象分為無限多個(gè)無限小的部分，取出有代表性的極小的一部分進(jìn)行分析處理，再從局部到全體綜合起來加以考慮的科學(xué)思維方法。這是數(shù)學(xué)思維的一個(gè)重要分支。 一. 微積分概述 微積分是研究函數(shù)的微分、積分以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。微積分是建立在實(shí)數(shù)、函數(shù)和極限的基礎(chǔ)上的。 極限和微積分的概念可以追溯到古代。到了十七世紀(jì)后半葉，牛頓和萊布尼茨完成了許多數(shù)學(xué)家都參加過準(zhǔn)備的工作，分別獨(dú)立地建立了微積分學(xué)。他們建立微積分的出發(fā)點(diǎn)是直觀的無窮小量，理論基礎(chǔ)是不甚不牢固的。直到十九世紀(jì)，柯西和維爾斯特拉斯建立了極限理論，康托爾等建立了嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論，這門學(xué)科才得以嚴(yán)密化。 微積分是與實(shí)際應(yīng)用聯(lián)系著發(fā)展起來的，它在天文學(xué)、力學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)各個(gè)分支中，有越來越廣泛的應(yīng)用。特別是計(jì)算機(jī)的發(fā)明更有助于這些應(yīng)用的不斷發(fā)展。 微積分是一種嚴(yán)密的數(shù)學(xué)思想，“無限細(xì)分”就是微分，“無限求和”就是積分。無限就是極限，極限的思想是微積分的基礎(chǔ)，它是用一種運(yùn)動(dòng)的思想看待問題的。比如，子彈飛出槍膛的瞬間速度就是微分的概念，子彈每個(gè)瞬間所飛行的路程之和就是積分的概念。 倘若將整個(gè)數(shù)學(xué)比作一棵大樹，那么初等數(shù)學(xué)是樹的根，名目繁多的數(shù)學(xué)分支是樹枝，而樹干的主要部分就是微積分。微積分堪稱是人類智慧最偉大的成就之一。從17世紀(jì)開始，隨著社會(huì)的進(jìn)步和生產(chǎn)力的發(fā)展，以及如航海、天文、礦山建設(shè)等許多課題要解決，數(shù)學(xué)也開始研究變化著的量，數(shù)學(xué)進(jìn)入了“變量數(shù)學(xué)”時(shí)代，即微積分不斷完善成為一門學(xué)科。整個(gè)17世紀(jì)有數(shù)十位科學(xué)家為微積分的創(chuàng)立做了開創(chuàng)性的研究，但使微積分成為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支的還是牛頓和萊布尼茨。 二．微元法的解題步驟： 一般地，如果某一個(gè)實(shí)際問題中所求量 符合下列條件： 1) 與變量 的變化區(qū)間 有關(guān)； 2) 對(duì)于區(qū)間 具有可加性．也就是說，如果把區(qū)間 分成許多部分區(qū)間，則 相應(yīng)地分成許多部分量，而 等于所有部分量之和； 3) 部分量 的近似值可以表示為 ． 那么，在確定了積分變量以及其取值范圍后，可以用以下三步來求解： 第一步 根據(jù)問題的具體情況，選取一個(gè)變量（如 ）為積分變量，并確定它的變化區(qū)間 ； 第二步 寫出 在任一小區(qū)間 上的微元 ，這里常運(yùn)用“以常代變，以直代曲”等方法； 第三步 以所求量 的微元 為被積表達(dá)式，寫出在區(qū)間 上的定積分，得 ． 以上分析問題的方法稱為微元法或元素法. 如以速度 (m/s)直線行駛的汽車在 s內(nèi)行駛的路程（“以常代變”）可視為均速運(yùn)動(dòng)下的路程，微元為 ,在 s行駛的路程為 ． 三．微元法的應(yīng)用 高中物理中的瞬時(shí)速度、瞬時(shí)加速度、感應(yīng)電動(dòng)勢等等，都是用這種方法定義的，還有單擺的周期公式的推導(dǎo)，也用到了這種方法。從數(shù)學(xué)上講，是一種微分的思想方法，但在高中物理總復(fù)習(xí)中，用“微元法”來解有些問題，簡捷明了是一種普適的好辦法。一般地，“微元法”在解題中的應(yīng)用有以下三個(gè)步驟： 1) 合理“取樣”，從局部求整體 2) “化變?yōu)楹恪?、“化曲為直”求瞬時(shí)速度 3) 找“聯(lián)系點(diǎn)”、“聯(lián)系物”求相關(guān)速度 四．微元法案例分析 案例：求物體運(yùn)動(dòng)的路程 設(shè)某物體作變速直線運(yùn)動(dòng)，已知 速度V=V（t）>=0是時(shí)間間隔[T1,T2]上的連續(xù)函數(shù)。 解： 第一步：計(jì)算路程微元。 在小時(shí)間段上，物體的運(yùn)動(dòng)可視為勻速運(yùn)動(dòng)用“以常代變”，得路程微元 ds=v(t)dt 第二步：積分。 以v(t)dt為被積表達(dá)式，寫出在區(qū)間[T1,T2]上的定積分，得路程 以速度 v(t)=2t^2(km/h)行駛的汽車在t=0h到t=0.5h行駛的路程為 五．總結(jié) 總之，微元法是個(gè)很好的解題方法，簡單地講它就是指在構(gòu)建物理模型時(shí)，將待建物理對(duì)象或物理過程視作為由許多微小體或元過程組成，而所研究的物理對(duì)象或物理過程整體所遵循的物理規(guī)律，可通過積分來得到。 參考文獻(xiàn)： [1]劉來福等．《數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建?！罚本煼洞髮W(xué)出版社．2000.5（P-42） [2]關(guān)士續(xù)等．《自然辯證法概論》．高等教育出版社．1994.4（P-139） [3]李春生．《物理類比方法淺談現(xiàn)代物理知識(shí)》．2003.1