甲烷的鍵角是109.28，那么可以通過高中的空間向量知識(shí)算出這個(gè)值嗎？

問題描述：甲烷的鍵角是109.28，那么可以通過高中的空間向量知識(shí)算出這個(gè)值嗎？

領(lǐng)域?qū)＜遥?/span>當(dāng)然可以，這是非常簡單的計(jì)算。

首先解釋一下，甲烷（CH4）中的四個(gè)氫原子是完全等價(jià)的，其分子結(jié)構(gòu)就是一個(gè)碳原子和四個(gè)氫原子通過完全等價(jià)的連接方式在空間中存在，四個(gè)氫原子在空間中呈正四面體狀。要計(jì)算夾角的這個(gè)問題實(shí)際上就變成了怎么在空間中構(gòu)造一個(gè)最簡單的正四面體的問題。

如圖，考慮一個(gè)正方體，正方體的八個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：

（0，0，0），（0，0，1），（0，1，0），（0，1，1），

（1，0，0），（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1）。

從這八個(gè)點(diǎn)中選?。?，0，0），（0，1，1），（1，1，0），（1，0，1）四個(gè)點(diǎn)（或者這四個(gè)點(diǎn)以外的另外四個(gè)點(diǎn)）。容易證明這四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正四面體，正四面體的邊長為√2。甲烷中，四個(gè)氫原子所在的坐標(biāo)即構(gòu)成了一個(gè)正四面體，這四個(gè)點(diǎn)可以看成就是對(duì)甲烷的四個(gè)氫原子坐標(biāo)的描述，在這種描述下，碳原子所在的位置就是（0.5，0.5，0.5）。

因此，從碳原子出發(fā)，隨機(jī)選擇兩個(gè)C-H鍵計(jì)算夾角，這其實(shí)就是要計(jì)算以下兩個(gè)向量的夾角：

向量1 = （0，0，0）-（0.5，0.5，0.5） = （-0.5，-0.5，-0.5）

向量2 = （0，1，1）-（0.5，0.5，0.5） = （-0.5，0.5，0.5）

向量1和2的內(nèi)積等于-0.25，兩個(gè)向量的長度都是(√3)/2，計(jì)算出來夾角的余弦就是 -1/3，反三角函數(shù)一算，得到這大概就是109.5°。

領(lǐng)域?qū)＜遥?/span>過正四面體的頂點(diǎn)做垂面，交成的四面體的二面角的補(bǔ)角就是（參《林根數(shù)學(xué)》有關(guān)文章）