微分幾何為何必然興起?

【專家解說(shuō)】：對(duì)于一般人而言，歐氏幾何( Euclid Geometry 1826.9.17-1866.7.20) 敏銳地發(fā)現(xiàn)，存在以下三種幾何情況: 在橢球面上的三角形的三內(nèi)角之和大于兩直角，而雙曲面上的三角形內(nèi)角和小于兩直角，只有在平面上歐氏幾何有關(guān)三角形的的”三內(nèi)角之和等于兩直角“定理才能成立。于是，黎曼陷入了曲面幾何學(xué)的”癡迷“狀態(tài)，徹底拋棄了歐幾里德老祖宗的“教訓(xùn)”。 數(shù)學(xué)上的“變革之花”，百年少見(jiàn)也。 在光滑曲面上搞幾何學(xué)研究就要利用多元微積分學(xué)的理論知識(shí)與方法。為此，黎曼建立了一套概念體系與度量方法，把微分概念用到了“極致”。其中的核心思想是在曲面上的每個(gè)點(diǎn)的領(lǐng)域內(nèi)建立一個(gè)”切空間“( Tangengspace )，利用所謂“微分二次型”研究曲面的局部性質(zhì)。由此，微分幾何學(xué)出現(xiàn)了。 后人把這種曲面幾何叫做黎曼微分幾何。德國(guó)物理學(xué)家洛倫茲( A.Lorentz， 1853.7.18-1928.2.4) 把黎曼幾何用來(lái)描述“物理時(shí)空”，提出所謂“洛倫茲變換”。在上世紀(jì)初葉，物理學(xué)與數(shù)學(xué)遇到“理論危機(jī)”，結(jié)果導(dǎo)致愛(ài)因斯坦相對(duì)論與公理化集合論和模型論的建立。 在愛(ài)因斯坦創(chuàng)建相對(duì)論的過(guò)程中，在推導(dǎo)一個(gè)洛倫茲變換公式時(shí)，意外地發(fā)現(xiàn)“質(zhì)能轉(zhuǎn)換”公式:E= mC平方，導(dǎo)致一場(chǎng)人類思想史上的大變革。由此，核能利用開(kāi)始了，比如，火星車”好奇號(hào)“的同位素核電池。 現(xiàn)在，有人每逢談起幾何學(xué)，往往就是“規(guī)尺作圖”問(wèn)題，而不提黎曼有關(guān)曲面幾何的開(kāi)創(chuàng)性工作。這是很不公允的。