高中數(shù)學(xué)的不等式的十種類型及其解法

【專家解說】：不等式，肯定要掌握基本的不等式噻！ 不等式的題也是千變?nèi)f化的，很靈活，不多看點題肯定是不行的。 象柯西不等式，排序不等式都是很重要的不等式。經(jīng)?？紤]一題有沒有多種的證明方法，時常這么考慮是有好處的。敢說不懂柯西不等式的人在不等式里根本沒入門，不懂排序不等式的人根本不入流。 先給你把兩個不等式證明了！ 柯西不等式是一個非常重要的不等式，靈活巧妙的應(yīng)用它，可以使一些較為困難的問題迎刃而解?？稍谧C明不等式，解三角形相關(guān)問題，求函數(shù)最值，解方程等問題的方面得到應(yīng)用 柯西不等式的一般證法有以下幾種： ■①Cauchy不等式的形式化寫法就是：記兩列數(shù)分別是ai, bi，則有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai *bi)^2. 我們令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2) 則我們知道恒有 f(x) ≥ 0. 用二次函數(shù)無實根或只有一個實根的條件，就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0. 于是移項得到結(jié)論。 ■②用向量來證. m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn) mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+......+bn^2)^(1/2)乘以cosX． 因為cosX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+.....+bn^2)^(1/2) 這就證明了不等式． 柯西不等式還有很多種，這里只取兩種較常用的證法． [編輯本段]【柯西不等式的應(yīng)用】 柯西不等式在求某些函數(shù)最值中和證明某些不等式時是經(jīng)常使用的理論根據(jù)，我們在教學(xué)中應(yīng)給予極大的重視。 ■巧拆常數(shù)： 例：設(shè)a、b、c 為正數(shù)且各不相等。 求證： 2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)＞9/(a+b+c) 分析：∵a 、b 、c 均為正數(shù) ∴為證結(jié)論正確只需證：2*(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]＞9 而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b) 又 9=(1+1+1)(1+1+1) 證明：Θ2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]＝[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9 又 a、b 、c 各不相等，故等號不能成立 ∴原不等式成立。 排序不等式是高中數(shù)學(xué)競賽大綱、新課標(biāo) 要求的基本不等式。 設(shè)有兩組數(shù) a 1 , a 2 ,…… a n, b 1 , b 2 ,…… b n 滿足 a 1 ≤ a 2 ≤……≤ a n, b 1 ≤ b 2 ≤……≤ b n 則有 a 1 b n + a 2 b n-1+……+ a n b 1≤ a 1 b t + a 2 b t +……+ a n b t ≤ a 1 b 1 + a 2 b 2 + a n b n 式中t1，t2，……，tn是1，2，……，n的任意一個排列， 當(dāng)且僅當(dāng) a 1 = a 2 =……= a n 或 b 1 = b 2 =……= b n 時成立。 排序不等式常用于與順序無關(guān)的一組數(shù)乘積的關(guān)系?？梢韵攘頰1>=a2>=a3>=...>=an，確定大小關(guān)系. 使用時常構(gòu)造一組數(shù)，使其與原數(shù)構(gòu)成乘積關(guān)系，以便求解。適用于分式、乘積式尤其是輪換不等式的證明。 以上排序不等式也可簡記為： 反序和≤亂序和≤同序和. 證明時可采用逐步調(diào)整法。 例如，證明：其余不變時，將a 1 b 1 + a 2 b 2 調(diào)整為a 1 b 2 + a 2 b 1 ，值變小，只需作差證明（a 1 -a 2 ）*（b 1 -b 2 ）≥0，這由題知成立。 依次類推，根據(jù)逐步調(diào)整法，排序不等式得證。 時?？紤]不等式可否取等也是有必要的！ 當(dāng)0<A≤π/2 求函數(shù)f(x)=sinA+4/sinA的值域！ ，你是否能做得來？ 利用函數(shù)單調(diào)性是解決不等式的很好辦法，當(dāng)你看到關(guān)于n的不等式，要自覺想到函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用。