數(shù)列的10種通項(xiàng)公式

【專家解說(shuō)】：數(shù)列通項(xiàng)公式的幾種求法 數(shù)列通項(xiàng)公式直接表述了數(shù)列的本質(zhì)，是給出數(shù)列的一種重要方法。數(shù)列通項(xiàng)公式具備兩大功能，第一，可以通過(guò)數(shù)列通項(xiàng)公式求出數(shù)列中任意一項(xiàng)；第二，可以通過(guò)數(shù)列通項(xiàng)公式判斷一個(gè)數(shù)是否為數(shù)列的項(xiàng)以及是第幾項(xiàng)等問(wèn)題；因此，求數(shù)列通項(xiàng)公式是高中數(shù)學(xué)中最為常見(jiàn)的題型之一，它既考察等價(jià)轉(zhuǎn)換與化歸的數(shù)學(xué)思想，又能反映學(xué)生對(duì)數(shù)列的理解深度，具有一定的技巧性，是衡量考生數(shù)學(xué)素質(zhì)的要素之一，因而經(jīng)常滲透在高考和數(shù)學(xué)競(jìng)賽中。本文分別介紹幾種常見(jiàn)的數(shù)列通項(xiàng)的求法，以期能給讀者一些啟示。 一、常規(guī)數(shù)列的通項(xiàng) 例1：求下列數(shù)列的通項(xiàng)公式 （1）2(22—1)，3(32—1)，4(42—1)，5(52—1)，… （2）－1×2(1)，2×3(1)，－3×4(1)，4×5(1)，… （3）3(2)，1，7(10)，9(17)，11(26)，… 解：（1）an=n(n2—1)      （2）an= n（n+1）(（－1）n)      （3） an=2n＋1(n2＋1) 評(píng)注：認(rèn)真觀察所給數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)特征，找出an與n的對(duì)應(yīng)關(guān)系，正確寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的表達(dá)式。 二、等差、等比數(shù)列的通項(xiàng) 直接利用通項(xiàng)公式an=a1+（n－1）d和an=a1qn－1寫(xiě)通項(xiàng)，但先要根據(jù)條件尋求首項(xiàng)、公差和公比。 三、擺動(dòng)數(shù)列的通項(xiàng) 例2：寫(xiě)出數(shù)列1，－1，1，－1，…的一個(gè)通項(xiàng)公式。 解：an=（－1）n－1 變式1：求數(shù)列0，2，0，2，0，2，…的一個(gè)通項(xiàng)公式。 分析與解答：若每一項(xiàng)均減去1，數(shù)列相應(yīng)變?yōu)椋?，1，－1，1，…       故數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=1+（－1）n 變式2：求數(shù)列3，0，3，0，3，0，…的一個(gè)通項(xiàng)公式。 分析與解答：若每一項(xiàng)均乘以3(2)，數(shù)列相應(yīng)變?yōu)?，0，2，0，…       故數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=2(3)[1+（－1）n－1 ] 變式3：求數(shù)列5，1，5，1，5，1，…的一個(gè)通項(xiàng)公式。 分析與解答1：若每一項(xiàng)均減去1，數(shù)列相應(yīng)變?yōu)?，0，4，0，…       故數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=1++2×3(2)[1+（－1）n－1 ]=1+3(4)[1+（－1）n－1 ] 分析與解答2：若每一項(xiàng)均減去3，數(shù)列相應(yīng)變?yōu)?，－2，2，－2，…       故數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=3+2（－1）n－1 四、循環(huán)數(shù)列的通項(xiàng) 例3：寫(xiě)出數(shù)列0.1，0.01，0.001，0.0001，…的一個(gè)通項(xiàng)公式。       解：an= 10n(1) 變式1：求數(shù)列0.5，0.05，0.005，…的一個(gè)通項(xiàng)公式。       解：an= 10n(5) 變式2：求數(shù)列0.9，0.99，0.999，…的一個(gè)通項(xiàng)公式。     分析與解答：此數(shù)列每一項(xiàng)分別與數(shù)列0.1，0.01，0.001，0.0001，…的每一項(xiàng)對(duì)應(yīng)相加得到的項(xiàng)全部都是1，于是an=1－ 10n(1) 變式3：求數(shù)列0.7，0.77，0.777，0.7777，…的一個(gè)通項(xiàng)公式。 解：an= 9(7)（1－ 10n(1)） 例4：寫(xiě)出數(shù)列1，10，100，1000，…的一個(gè)通項(xiàng)公式。 解：an=10n－1 變式1：求數(shù)列9，99，999，…的一個(gè)通項(xiàng)公式。 分析與解答：此數(shù)列每一項(xiàng)都加上1就得到數(shù)列10，100，1000，…  故an=10n－1。 變式2：寫(xiě)出數(shù)列4，44，444，4444…的一個(gè)通項(xiàng)公式。 解：an= 9(4)（10n－1） 評(píng)注：平日教與學(xué)的過(guò)程中務(wù)必要對(duì)基本的數(shù)列通項(xiàng)公式進(jìn)行過(guò)關(guān)，這就需要提高課堂教與學(xué)的效率，多加總結(jié)、反思，注意聯(lián)想與對(duì)比分析，做到觸類旁通，也就無(wú)需再害怕復(fù)雜數(shù)列的通項(xiàng)公式了。 五、通過(guò)等差、等比數(shù)列求和來(lái)求通項(xiàng) 例5：求下列數(shù)列的通項(xiàng)公式 （1）0.7，0.77，0.777，…         （2）3，33，333，3333，… （3）12，1212，121212，…       （4）1，1+2，1+2+3，… 解：（1）an==7×=7×（0.1+0.01+0.001+…+） =7×（10(1)+102(1)+103(1)+…+10n(1)）==9(7)（1－10n(1)） （2）an==3×=3×（1+10+100+…+10n）=3×1－10(1－10n)=3(1)（10n－1） （3）an==12×（1+100+10000+…+100n－1）=12×1－100(1－100n)=33(4)（102n－1） （4）an=1+2+3+…n=2(n（n+1）) 評(píng)注：關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)據(jù)的變化規(guī)律搞清楚第n項(xiàng)的數(shù)據(jù)特點(diǎn)。 六、用累加法求an=an－1+f（n）型通項(xiàng) 例6：（1）數(shù)列{an}滿足a1=1且an=an－1+3n－2（n≥2），求an。 （2）數(shù)列{an}滿足a1=1且an=an－1+2n(1)（n≥2），求an。 解：（1）由an=an－1+3n－2知an－an－1=3n－2，記f（n）=3n－2= an－an－1         則an= （an－an－1）+（an－1－an－2）+（an－2－an－3）+…（a2－a1）+a1             =f（n）+ f（n－1）+ f（n－2）+…f（2）+ a1             =（3n－2）+[3（n－1）－2]+ [3（n－2）－2]+ …+（3×2－2）+1             =3[n+（n－1）+（n－2）+…+2]－2（n－1）+1             =3×2(（n+2）（n－1）)－2n+3=2(3n2－n)   （2）由an=an－1+2n(1)知an－an－1=2n(1)，記f（n）=2n(1)= an－an－1        則an=（an－an－1）+（an－1－an－2）+（an－2－an－3）+…（a2－a1）+a1            =f（n）+ f（n－1）+ f（n－2）+…f（2）+ a1            =2n(1)+2n－1(1)+2n－2(1)+…+22(1)+1=2(1)－2n(1) 評(píng)注：當(dāng)f（n）=d（d為常數(shù)）時(shí)，數(shù)列{an}就是等差數(shù)列，教材對(duì)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)其實(shí)就是用累加法求出來(lái)的。 七、用累積法求an= f（n）an－1型通項(xiàng) 例7:（1）已知數(shù)列{an}滿足a1=1且an=n(2（n-1）)an—1（n≥2），求an （2）數(shù)列{an}滿足a1=2(1)且an=2n(1)an—1，求an 解：（1）由條件 an—1(an)=n(2（n－1）)，記f（n）=n(2（n－1）) an= an—1(an)· an—2(an－1)·… a1(a2)·a1=f（n）f（n－1）f（n－2）…f（2）f（2）a1 =n(2（n－1）)·n－1(2（n－2）)·n－2(2（n－3）)·…3(2×2)·2(2×1)·1=n(2n－1) （2）an= an—1(an)· an—2(an－1)·… a1(a2)·a1=2n(1)·2n－1(1)…22(1)·2(1)=21＋2＋…＋n(1)=2－ 2(n（n＋1）) 評(píng)注：如果f（n）=q（q為常數(shù)），則{an}為等比數(shù)列，an= f（n）an—1型數(shù)列是等比數(shù)列的一種推廣，教材中對(duì)等比數(shù)列通項(xiàng)公式地推導(dǎo)其實(shí)正是用累積法推導(dǎo)出來(lái)的。 八、用待定系數(shù)法求an=Aan－1＋B型數(shù)列通項(xiàng) 例8:數(shù)列{an}滿足a1=1且an＋1＋2an=1，求其通項(xiàng)公式。 解：由已知，an＋1＋2an=1，即an=－2 an—1＋1     令an＋x=－2（an－1＋x），則an=－2 an－1－3x，于是－3x=1，故x=－3(1) ∴      an－3(1)=－2（an－1－3(1)） 故{ an－3(1) }是公比q為－2，首項(xiàng)為an－3(1)=3(2)的等比數(shù)列 ∴an－3(1)=3(2)（－2）n－1=3(1－（－2）n) 評(píng)注：一般地，當(dāng)A≠1時(shí)令an＋x=A（an－1＋x）有an=A an－1＋（A－1）x，則有 （A－1）x=B知x=A－1(B)，從而an＋A－1(B)=A（an－1+A－1(B)），于是數(shù)列{an＋A－1(B)}是首項(xiàng)為a1+A－1(B)、公比為A的等比數(shù)列，故an＋A－1(B)=（a1+A－1(B)）An－1，從而 an=（a1+A－1(B)）An－1－A－1(B)；特別地，當(dāng)A=0時(shí){an}為等差數(shù)列；當(dāng)A≠0，B=0時(shí)，數(shù)列{an}為等比數(shù)列。 推廣：對(duì)于an=A an－1＋f（n）（A≠0且A∈R）型數(shù)列通項(xiàng)公式也可以用待定系數(shù)法求通項(xiàng)公式。 例9：數(shù)列{an}滿足a1=1且an=2an－1＋3n(1)（n≥2），求an。 解：令an＋x·3n(1)=2（an＋x·3n-1(1)）則an=2an－1+ 2x·3n-1(1)－x·3n(1)=3(5)x·3n-1(1)=5x·3n(1) 而由已知an=2an－1＋3n(1)故5x=1，則x=5(1)。故an＋5(1)·3n(1)＝2（an－1＋5(1)·3n-1(1)） 從而{an＋5(1)·3n(1)}是公比為q=2、首項(xiàng)為a1＋5(1)·3(1)=15(16)的等比數(shù)列。     于是an＋5(1)·3n(1)=15(16)×2n－1，則an=15(16)×2n－1－5(1)·3n(1)=15(1)（2n+3－3n－1(1)） 評(píng)注：一般情況，對(duì)條件an=Aan－1+f（n）而言，可設(shè)an+g（n）=A[an－1+g（n－1）]，則有Ag（n－1）－g（n）=f（n），從而只要求出函數(shù)g（n）就可使數(shù)列{ an+g（n）}為等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出an。值得注意的是an+g（n）與an－1+g（n－1）中的對(duì)應(yīng)關(guān)系。特別地，當(dāng)f（n）=B（B為常數(shù)）時(shí)，就是前面敘述的例8型。 這種做法能否進(jìn)一步推廣呢？對(duì)于an=f（n）an－1+g（n）型數(shù)列可否用待定系數(shù)法求通項(xiàng)公式呢？ 我們姑且類比做點(diǎn)嘗試：令an+k（n）=f（n）[an－1+k（n－1）]，展開(kāi)得到 an =f（n）an－1+f（n）k（n－1）－k（n），從而f（n）k（n－1）－k（n）= g（n），理論上講，通過(guò)這個(gè)等式k（n）可以確定出來(lái)，但實(shí)際操作上，k（n）未必能輕易確定出來(lái)，請(qǐng)看下題： 數(shù)列{an}滿足a1=1且an=2n(n)an－1+n+1(1)，求其通項(xiàng)公式。     在這種做法下得到2n(n)k（n－1）－k（n）=n+1(1)，顯然，目前我們用高中數(shù)學(xué)知識(shí)還無(wú)法輕易地求出k（n）來(lái)。 九、通過(guò)Sn求an 例10：數(shù)列{an}滿足an =5Sn－3，求an。 解：令n=1，有a1=5an－3，∴a1=4(3)。由于an =5Sn－3………① 則           an-1 =5 Sn-1－3………② ①－②得到an－an-1=5（Sn－Sn-1）       ∴an－an－1 =5an 故an=－4(1)an-1，則{an}是公比為q=－4(1)、首項(xiàng)an=4(3)的等比數(shù)列，則an=4(3)（－4(1)）n-1 評(píng)注：遞推關(guān)系中含有Sn，通常是用Sn和an的關(guān)系an=Sn－Sn－1（n≥2）來(lái)求通項(xiàng)公式，具體來(lái)說(shuō)有兩類：一是通過(guò)an=Sn－Sn－1將遞推關(guān)系揭示的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為項(xiàng)與項(xiàng)的關(guān)系，再根據(jù)新的遞推關(guān)系求出通項(xiàng)公式；二是通過(guò)an=Sn－Sn－1將遞推關(guān)系揭示的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為前n項(xiàng)和與前n－1項(xiàng)和的關(guān)系，再根據(jù)新的遞推關(guān)系求出通項(xiàng)公式 十、取倒數(shù)轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列 例11：已知數(shù)列{an}滿足a1=1且a n+1= an+2(2an)，求an。      解：由a n+1= an+2(2an)有     an+1(1)= 2an(an+2)= 2(1)+an(1)  即an+1(1)－an(1)=2(1)          所以，數(shù)列{an(1)}是首項(xiàng)為a1(1)=1、公差為d=2(1)的等差數(shù)列         則an(1)=1+（n－1）2(1)=2(n+1)      從而an=n+1(2) 評(píng)注：注意觀察和分析題目條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，對(duì)所給的遞推關(guān)系式進(jìn)行變形，使與所求數(shù)列相關(guān)的數(shù)列（本例中數(shù)列{an(1)}）是等差或等比數(shù)列后，只需解方程就能求出通項(xiàng)公式了。 十一、構(gòu)造函數(shù)模型轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列 例12：已知數(shù)列{an}滿足a1=3且a n+1= （an－1）2+1，求an。 解：由條件a n+1= （an－1）2+1得a n+1－1= （an－1）2 兩邊取對(duì)數(shù)有l(wèi)g（a n+1－1）=lg（（an－1）2）=2lg（an－1） 即      故數(shù)列{ lg（an－1）}是首項(xiàng)為lg（a1－1）=lg2、公比為2的等比數(shù)列 所以，lg（an－1）=lg2·2n－1=lg 則an－1=           即an=+1 評(píng)注：通過(guò)構(gòu)造對(duì)數(shù)函數(shù)達(dá)到降次的目的，使原來(lái)的遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列進(jìn)行求。 十二、數(shù)學(xué)歸納法 例13：數(shù)列{an}滿足a1=4且a n=4－ an－1(4)（n≥2），求an。   解：通過(guò)遞推關(guān)系求出數(shù)列前幾項(xiàng)如下     a1=4=2+1(2)    a2=4－ a1(4)=3=2+2(2)     a3=4－ a2(4)=3(8)=2+3(2)       a4=4－ a3(4)=2(5)=2+4(2)   a5=4－ a4(4)=5(12)=2+5(2)  a6=4－ a5(4)=3(7)=2+6(2)        猜想：通項(xiàng)公式為an=2+n(2)。下用歸納法給出證明      顯然，當(dāng)n=1時(shí)，a1=4=2+1(2)，等式成立      假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，即ak=2+k(2) 則當(dāng)n=k+1時(shí)，a k+1=4－ ak(4)=4－ k(2)) k(2)=4－k+1(2k)=2+2－k+1(2k)=2+k+1(2)      由歸納法原理知，對(duì)一切n∈N+都有an=2+n(2)。 評(píng)注：先根據(jù)遞推關(guān)系求出前幾項(xiàng)，觀察數(shù)據(jù)特點(diǎn)，猜想、歸納出通項(xiàng)公式，再用數(shù)學(xué)歸納法給出證明。 十三、綜合應(yīng)用 例14：已知各項(xiàng)為正的數(shù)列{an}滿足a1=1且a n2=a n－12+2（n≥2），求an。   解：由a n2=a n－12+2知a n2－a n－12=2 則數(shù)列{an2}是公差為2、首項(xiàng)為a 12=1的等差數(shù)列。   故   a n2=1+2（n－1）=2n－1          即an= 例15：數(shù)列{an}滿足a1=a2=5且a n+1=a n+6a n－1（n≥2），求an。   解：設(shè)a n+1+λa n=μ（a n+λa n－1），則a n+1=（μ－λ）a n+μλa n－1     而a n+1=a n+6a n－1         則 解得或 當(dāng)λ=2且μ=3時(shí)a n+1+2a n=3（a n+2a n－1），即 n+1+2a n, a n+2a n－1) =3   則數(shù)列{an+2an－1}是公比為3、首項(xiàng)為a 2+2a 1=15的等比數(shù)列。 于是，a n+2a n－1=15×3n－1=5×3n   則a n=－2a n－1+5×3n 令a n+x·3n =－2（a n－1+x·3n－1 ）  則a n=－2a n－1－x·3n  故x=－1          于是，a n－3n =－2（a n－1－3n－1 ） 從而{an－3n }是公比為－2、首項(xiàng)為a 1－3=2的等比數(shù)列。 所以，a n－3n =2×（－2）n－1   則a n=3n+2×（－2）n－1=3n－（－2）n 當(dāng)λ=－3且μ=－2時(shí)，同理可求得a n=3n－（－2）n    于是，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為a n=3n－（－2）n 小結(jié)：本文只是介紹了幾種常見(jiàn)的求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法，可以看到，求數(shù)列（特別是以遞推關(guān)系式給出的數(shù)列）通項(xiàng)公式的確具有很強(qiáng)的技巧性，與我們所學(xué)的基本知識(shí)與技能、基本思想與方法有很大關(guān)系，因而在平日教與學(xué)的過(guò)程中，既要加強(qiáng)基本知識(shí)、、基本方法、基本技能和基本思想的學(xué)習(xí)，又要注意培養(yǎng)和提高數(shù)學(xué)素質(zhì)與能力和創(chuàng)新精神。這就要求無(wú)論教師還是學(xué)生都必須提高課堂的教與學(xué)的效率，注意多加總結(jié)和反思，注意聯(lián)想和對(duì)比分析，做到觸類旁通，將一些看起來(lái)毫不起眼的基礎(chǔ)性命題進(jìn)行橫向的拓寬與縱向的深入，通過(guò)弱化或強(qiáng)化條件與結(jié)論，揭示出它與某類問(wèn)題的聯(lián)系與區(qū)別并變更為出新的命題。這樣無(wú)論從內(nèi)容的發(fā)散，還是解題思維的深入，都能收到固本拓新之用，收到“秀枝一株，嫁接成林”之效，從而有利于形成和發(fā)展創(chuàng)新的思維。