為什么可以用布豐的投針實(shí)驗(yàn)算出圓周率的值?

【專家解說】：1777年法國科學(xué)家蒲豐提出的一種計(jì)算圓周率的方法——隨機(jī)投針法，即著名的蒲豐投針問題。這一方法的步驟是： 　　1) 取一張白紙，在上面畫上許多條間距為d的平行線。 　　2) 取一根長度為l（l<d） 的針，隨機(jī)地向畫有平行直線的紙上擲n次，觀察針與直線相交的次數(shù)，記為m 　　3）計(jì)算針與直線相交的概率． 　　18世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家布豐和勒可萊爾提出的“投針問題”，記載于布豐1777年出版的著作中：“在平面上畫有一組間距為d的平行線，將一根長度為l（l<d）的針任意擲在這個平面上，球此針與平行線中任一條相交的頻率?！辈钾S本人證明了，這個概率是 　　p=2l/(πd) π為圓周率 　　利用這個公式可以用概率的方法得到圓周率的近似值。下面是一些資料 　　實(shí)驗(yàn)者 年代 投擲次數(shù) 相交次數(shù) 圓周率估計(jì)值 　　沃爾夫 1850 5000 2531 3.1596 　　史密斯 1855 3204 1219 3.1554 　　德摩根 1680 600 383 3.137 　　?？怂?1884 1030 489 3.1595 　　拉澤里尼 1901 3408 1808 3.1415929 　　賴納 1925 2520 859 3.1795 　　布豐投針實(shí)驗(yàn)是第一個用幾何形式表達(dá)概率問題的例子，他首次使用隨機(jī)實(shí)驗(yàn)處理確定性數(shù)學(xué)問題，為概率論的發(fā)展起到一定的推動作用。 　　像投針實(shí)驗(yàn)一樣，用通過概率實(shí)驗(yàn)所求的概率來估計(jì)我們感興趣的一個量，這樣的方法稱為蒙特卡羅方法（Monte Carlo method）。蒙特卡羅方法是在第二次世界大戰(zhàn)期間隨著計(jì)算機(jī)的誕生而興起和發(fā)展起來的。這種方法在應(yīng)用物理、原子能、固體物理、化學(xué)、生態(tài)學(xué)、社會學(xué)以及經(jīng)濟(jì)行為等領(lǐng)域中得到廣泛利用。 　　法國數(shù)學(xué)家布豐（1707-1788）最早設(shè)計(jì)了投針試驗(yàn)。并于1777年給出了針與平行線相交的概率的計(jì)算公式P=2L/πd(其中L是針的長度，d是平行線間的距離，π是圓周率)。 　　由于它與π有關(guān)，于是人們想到利用投針試驗(yàn)來估計(jì)圓周率的值。 　　此外，隨便說出3個正數(shù)，以這3個正數(shù)為邊長可以圍成一個鈍角三角形的概率P也與π有關(guān)。 　　值得注意的是這里采用的方法：設(shè)計(jì)一個適當(dāng)?shù)脑囼?yàn)，它的概率與我們感興趣的一個量（如π）有關(guān)，然后利用試驗(yàn)結(jié)果來估計(jì)這個量，隨著計(jì)算機(jī)等現(xiàn)代技術(shù)的發(fā)展，這一方法已經(jīng)發(fā)展為具有廣泛應(yīng)用性的蒙特卡羅方法。 　　投針試驗(yàn)——計(jì)算π的最為稀奇的方法之一 　　計(jì)算π的最為稀奇的方法之一，要數(shù)18世紀(jì)法國的博物學(xué)家C·蒲豐和他的投針實(shí)驗(yàn)：在一個平面上，用尺畫一組相距為d的平行線；一根長度小于d的針，扔到畫了線的平面上；如果針與線相交，則該次扔出被認(rèn)為是有利的，否則則是不利的． 　　蒲豐驚奇地發(fā)現(xiàn)：有利的扔出與不利的扔出兩者次數(shù)的比，是一個包含π的表示式．如果針的長度等于d，那么有利扔出的概率為2/π．扔的次數(shù)越多，由此能求出越為精確的π的值． 　　公元1901年，意大利數(shù)學(xué)家拉茲瑞尼作了3408次投針，給出π的值為3．1415929——準(zhǔn)確到小數(shù)后6位．不過，不管拉茲瑞尼是否實(shí)際上投過針，他的實(shí)驗(yàn)還是受到了美國猶他州奧格登的國立韋伯大學(xué)的L·巴杰的質(zhì)疑．通過幾何、微積分、概率等廣泛的范圍和渠道發(fā)現(xiàn)π，這是著實(shí)令人驚訝的！