大學(xué)物理，動量守恒定律

【專家解說】：動量守恒定律
鎖定
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動量守恒定律和能量守恒定律以及角動量守恒定律一起成為現(xiàn)代物理學(xué)中的三大基本守恒定律。最初它們是牛頓定律的推論， 但后來發(fā)現(xiàn)它們的適用范圍遠(yuǎn)遠(yuǎn)廣于牛頓定律，是比牛頓定律更基礎(chǔ)的物理規(guī)律， 是時空性質(zhì)的反映。其中，動量守恒定律由空間平移不變性推出，能量守恒定律由時間平移不變性推出，而角動量守恒定律則由空間的旋轉(zhuǎn)對稱性推出。
定律說明
一個系統(tǒng)不受外力或所受外力之和為零，這個系統(tǒng)的總動量保持不變，這個結(jié)論叫做動量守恒定律。
1.動量守恒定律是自然界中最重要最普遍的守恒定律之一，是一個實驗規(guī)律，也可用牛頓第三定律結(jié)合動量定理推導(dǎo)出來。
2.相互間有作用力的物體系稱為系統(tǒng)，系統(tǒng)內(nèi)的物體可以是兩個、三個或者更多，解決實際問題時要根據(jù)需要和求解問題的方便程度，合理地選擇系統(tǒng)。[1]

定律特點

矢量性
動量是矢量。動量守恒定律的方程是一個矢量方程。通常規(guī)定正方向后，能確定方向的物理量一律將方向表示為“+”或“-”，物理量中只代入大小：不能確定方向的物理量可以用字母表示，若計算結(jié)果為“+”，則說明其方向與規(guī)定的正方向相同，若計算結(jié)果為“-”，則說明其方向與規(guī)定的正方向相反。

瞬時性
動量是一個瞬時量，動量守恒定律指的是系統(tǒng)任一瞬間的動量和恒定。因此，列出的動量守恒定律表達(dá)式m1v1+m2v2+…=m1v1ˊ+m2v2ˊ+…，其中v1，v2…都是作用前同一時刻的瞬時速度，v1ˊ，v2ˊ都是作用后同一時刻的瞬時速度。只要系統(tǒng)滿足動量守恒定律的條件，在相互作用過程的任何一個瞬間，系統(tǒng)的總動量都守恒。在具體問題中，可根據(jù)任何兩個瞬間系統(tǒng)內(nèi)各物體的動量，列出動量守恒表達(dá)式。

相對性
物體的動量與參考系的選擇有關(guān)。通常，取地面為參考系，因此，作用前后的速度都必須相對于地面。

普適性
它不僅適用于兩個物體組成的系統(tǒng)，也適用于多個物體組成的系統(tǒng)；不僅適用于宏觀物體組成的系統(tǒng)，也適用于微觀粒子組成的系統(tǒng)。

適用性

適用范圍
動量守恒定律是自然界最普遍、最基本的規(guī)律之一。不僅適用于宏觀物體的低速運動，也適用與微觀物體的高速運動。小到微觀粒子，大到宇宙天體，無論內(nèi)力是什么性質(zhì)的力，只要滿足守恒條件，動量守恒定律總是適用的。

適用條件
1.系統(tǒng)不受外力或者所受合外力為零；
2.系統(tǒng)所受合外力雖然不為零，但系統(tǒng)的內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力時，如碰撞、爆炸等現(xiàn)象中，系統(tǒng)的動量可看成近似守恒；
3.系統(tǒng)總的來看不符合以上條件的任意一條，則系統(tǒng)的總動量不守恒。但是若系統(tǒng)在某一方向上符合以上條件的任意一條，則系統(tǒng)在該方向上動量守恒。[2]
注意：
（1）區(qū)分內(nèi)力和外力
碰撞時兩個物體之間一定有相互作用力，屬于一個系統(tǒng)的兩個物體之間的力叫做內(nèi)力；
系統(tǒng)以外的物體施加的力，叫做外力。
（2）在總動量一定的情況下，每個物體的動量可以發(fā)生很大變化
例如：靜止的兩輛小車用細(xì)線相連，中間有一個壓縮的彈簧。燒斷細(xì)線后，由于相互作用力的作用，兩輛小車分別向左右運動，它們都獲得了動量，但動量的矢量和為零。
（3）動量與動能定理的區(qū)別
動量定理：p=

反映了力對時間的累積效應(yīng)，是力在時間上的積累。為矢量方程式，既有大小又有方向。
動能定理：

反映了力對空間的累積效應(yīng)，是力在空間上的積累。為標(biāo)量方程式，只有大小沒有方向。

數(shù)學(xué)表達(dá)式
（1）p=p′即系統(tǒng)相互作用開始時的總動量等于相互作用結(jié)束時（或某一中間狀態(tài)時）的總動量。
（2）Δp=0即系統(tǒng)的總動量的變化為零.若所研究的系統(tǒng)由兩個物體組成，則可表述為：

（等式兩邊均為矢量和）。
（3）Δp1=－Δp2
即若系統(tǒng)由兩個物體組成，則兩個物體的動量變化大小相等，方向相反，此處要注意動量變化的矢量性.在兩物體相互作用的過程中，也可能兩物體的動量都增大，也可能都減小，但其矢量和不變。[1]

數(shù)學(xué)推導(dǎo)
兩球碰撞示意圖
以兩球碰撞為例：光滑水平面上有兩個質(zhì)量分別是m1和m2的小球，分別以速度v1和v2（v1>v2）做勻速直線運動。當(dāng)m1追上m2時，兩小球發(fā)生碰撞，設(shè)碰后二者的速度分別為v1ˊ，v2ˊ。
設(shè)水平向右為正方向，它們在發(fā)生相互作用（碰撞）前的總動量：p=p1+p2=m1v1+m2v2，在發(fā)生相互作用后兩球的總動量：pˊ=p1ˊ+p2ˊ=m1v1ˊ+m2v2ˊ。
設(shè)碰撞過程中兩球相互作用力分別是F1和F2，力的作用時間是。
根據(jù)牛頓第二定律，碰撞過程中兩球的加速度分別為：

根據(jù)牛頓第三定律，大小相等，方向相反，即：F1=-F2
所以：m1a1=-m2a2
碰撞時兩球之間力的作用時間很短，用

表示，這樣加速度與碰撞前后速度的關(guān)系就是：

，代入上式，整理后可得：

或?qū)懗桑?br />
即：

這表明兩球碰撞前后系統(tǒng)的總動量是相等的。[2]

實驗驗證
穩(wěn)定的重核吸收中子后處于不穩(wěn)定狀態(tài)，其中的中子會轉(zhuǎn)變成為質(zhì)子同時放出一個β粒子，這種現(xiàn)象稱為β衰變。在歷史上，對β衰變機理的探索導(dǎo)致了中微子的發(fā)現(xiàn)。當(dāng)時，一個難以回答的問題是：β衰變過程中所產(chǎn)生的電子從何而來。人們已確認(rèn)原子核里面不可能存在電子，因此只能認(rèn)為β衰變所放出的電子是臨時產(chǎn)生的，即一個核內(nèi)中子放出一個電子并轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€質(zhì)子。但進(jìn)一步的分析表明，這種想法存在著嚴(yán)重的缺陷，因為它明顯地違反了能量守恒定律、角動量守恒定律和動量守恒定律。一般而言，放射性原子核所發(fā)射出的粒子都要帶走大量的能量，由E=mc2知，這是由于原子核有一小部分質(zhì)量轉(zhuǎn)換成了能量。換句話說，在發(fā)射粒子的過程中，原子核總是會損失一小部分質(zhì)量。但令人困惑不解的是，通常在β衰變過程中發(fā)射出的β粒子（電子）所攜帶的能量不夠大，并不與粒子所損失的質(zhì)量相適應(yīng)，而且并不是所有的電子的能量都一樣，發(fā)射出的電子的能量有一個很寬的范圍——即有一個很寬的能譜，其中最大的能量（只有少數(shù)電子具有這樣大的能量）才等于放射過程中母核與子核的能量差（即蛻變能）。對于β衰變過程中的絕大數(shù)電子來說，其能量并不等于這一最大能量。這也就是說，在前面所設(shè)想的β衰變過程不能使得反應(yīng)前后能量守恒。“失蹤”了的能量跑到哪兒去了呢？盡管人們曾提出了一些可能的解釋方案，但是這些設(shè)想又為進(jìn)一步的實驗所否定。因此，人們不得不承認(rèn)前面設(shè)想的β衰變過程不符合實際。
為了解決上述矛盾，驗證能量守恒定律，奧地利物理學(xué)家泡利（1900—1958）在1930年提出了一個大膽的設(shè)想：如果認(rèn)為在β衰變過程中還伴隨著一種未被查覺的未知粒子的話，那么上面所列舉的矛盾都可立即獲得解決。亦就是說，如果β衰變遵守能量守恒定律的話，那么在衰變過程中應(yīng)當(dāng)還有一種質(zhì)量極小又不帶電荷的粒子存在，泡利是在1930年12月給邁特納和蓋革的信中首先提出這個假設(shè)的。
泡利的假設(shè)提出后不久，1933年費米就在此基礎(chǔ)上提出了β衰變理論，并把泡利預(yù)言的這樣一種不帶電的、質(zhì)量極小的粒子命名為：“中微子”（即中性的小家伙），以區(qū)別中子，并用n表示.他認(rèn)為根據(jù)中微子假設(shè)，β衰變實際上是中子轉(zhuǎn)變?yōu)橘|(zhì)子、電子和中微子的過程。后來人們知道，費米所說的中微子其實是“反中微子”。
中微子的假設(shè)非常成功，但是要觀察它的存在卻非常困難，由于它質(zhì)量既小又不帶電荷，與其它粒子間的相互作用非常弱，因而它總是頑固地不愿意表露自己。（據(jù)說平均地講，一個中微子要穿透1000光年厚的固體鐵“板”才與其它粒子發(fā)生相互作用，因此它可以毫不費力地穿過地球而不發(fā)生變化。這一性能已被人們用來研究穿透地球的“中微子通訊”的可能性。）顯然，中微子的這種個性使得確認(rèn)它的存在成了一件極困難的事情。1953年，美國洛斯阿拉莫斯科學(xué)實驗室的物理學(xué)愛萊因斯和柯萬領(lǐng)導(dǎo)的物理學(xué)小組著手進(jìn)行這種幾乎不可能成功的探測。他們在美國原子能委員會所屬的佐治亞洲薩凡納河的一個大裂變反應(yīng)堆進(jìn)行探測。終于到1956年，也就是泡利提出這種粒子假設(shè)整整四分之一世紀(jì)以后，探測到反中微子，1962年又發(fā)現(xiàn)了另一種反中微子，中微子的發(fā)現(xiàn)說明，能量守恒定律在微觀領(lǐng)域里也是完全適用的。[3]

碰撞守恒
碰撞是指物體間相互作用時間極短，而相互作用力很大的現(xiàn)象。在碰撞過程中，系統(tǒng)內(nèi)物體相互作用的內(nèi)力一般遠(yuǎn)大于外力，故碰撞中的動量守恒，按碰撞前后物體的動量是否在一條直線區(qū)分，有正碰和斜碰。中學(xué)物理一般只研究正碰。按碰撞過程中動能的損失情況區(qū)分，碰撞可分為三種：

彈性碰撞
彈性碰撞前后系統(tǒng)的總動能不變，對兩個物體組成的系統(tǒng)的正碰情況滿足：

；（動量守恒）

；（動能守恒）
兩式聯(lián)立可得：

；

當(dāng)

時，

；

，此時：
若

，這時

；

，碰后實現(xiàn)了動量和動能的全部交換。
若

，這時

；

，碰后

的速度幾乎未變，仍按照原方向運動，質(zhì)量小的物體以兩倍

的速度向前運動。
若

，這時

；

，碰后

按原來的速度彈回，

幾乎不動。

非彈性碰撞
非彈性碰撞，碰撞的動能介于前兩者碰撞之間。[1] 碰撞中動能不守恒，只滿足動量守恒，兩物體的碰撞一般都是非彈性碰撞。

完全非彈碰撞
完全非彈性碰撞，該碰撞中動能的損失最大，對兩個物體組成的系統(tǒng)滿足：

爆炸與碰撞的比較：
（1）爆炸，碰撞類問題的共同特點是物體的相互作用突然發(fā)生，相互作用的力為變力，作用時間很短，作用力很大，且遠(yuǎn)大于系統(tǒng)所受的外力，故可用動量守恒定律處理。
（2）在爆炸過程中，有其他形式的能轉(zhuǎn)化為動能，系統(tǒng)的動能在爆炸后可能增加；在碰撞過程中，系統(tǒng)總動能不可能增加，一般有所減少轉(zhuǎn)化為內(nèi)能。
（3）由于爆炸，碰撞類問題作用時間很短，作用過程中物體的位移很小，一般可忽略不計，可以把作用過程作為一個理想化過程簡化處理，即作用后還從作用前的瞬間的位置以新的動量開始運動。

反沖

系統(tǒng)在內(nèi)力作用下，當(dāng)一部分向某一方向的動量發(fā)生變化時，剩余部分沿相反方向的動量發(fā)生同樣大小變化的現(xiàn)象.噴氣式飛機、火箭等都是利用反沖運動的實例.若系統(tǒng)由兩部分組成，且相互作用前總動量為零。一般為物體分離則有

， M是火箭箭體質(zhì)量，m是燃?xì)飧淖兞俊?br />噴氣式飛機和火箭的飛行應(yīng)用了反沖的原理，它們都是靠噴出氣流的反沖作用而獲得巨大速度的?，F(xiàn)代的噴氣式飛機，靠連續(xù)不斷地向后噴出氣體，飛行速度能夠超過l000m/s。
質(zhì)量為m的人在遠(yuǎn)離任何星體的太空中，與他旁邊的飛船相對靜止。由于沒有力的作用，他與飛船總保持相對靜止的狀態(tài)。
根據(jù)動量守恒定律，火箭原來的動量為零，噴氣后火箭與燃?xì)獾目倓恿咳匀粦?yīng)該是零，即mΔv+Δmu=0 解出Δv= -Δmμ/m（1）
（1）式表明，火箭噴出的燃?xì)獾乃俣仍酱?、火箭噴出物質(zhì)的質(zhì)量與火箭本身質(zhì)量之比越大，火箭獲得的速度越大?；鸺龂姎獾乃俣仍?000～4000 m/s已很難再大幅度提高，因此要在減輕火箭本身質(zhì)量上面下功夫?；鸺痫w時的質(zhì)量與火箭除燃料外的箭體質(zhì)量之比叫做火箭的質(zhì)量比，這個參數(shù)一般小于10，否則火箭結(jié)構(gòu)的強度就成了問題。但是，這樣的火箭還是達(dá)不到發(fā)射人造地球衛(wèi)星的7.9 km/s的速度。
為了解決這個問題，蘇聯(lián)科學(xué)家齊奧爾科夫斯基提出了多級火箭的概念。把火箭一級一級地接在一起，第一級燃料用完之后就把箭體拋棄，減輕負(fù)擔(dān)，然后第二級開始工作，這樣一級一級地連起來，理論上火箭的速度可以提得很高。但是實際應(yīng)用中一般不會超過四級，因為級數(shù)太多時，連接機構(gòu)和控制機構(gòu)的質(zhì)量會增加得很多，工作的可靠性也會降低。

定律影響
一個質(zhì)點系的內(nèi)力不能改變質(zhì)心的運動狀態(tài)。這個討論包含三層含義：
（1）若一個質(zhì)點系的質(zhì)點原來是不動的，那么在無外力作用的條件下，這個質(zhì)心的位置不變。
（2）若一個質(zhì)點系的質(zhì)心原來是運動的，那么在無外力作用的條件下，這個質(zhì)點系的質(zhì)心將以原來的速度做勻速直線運動。
（3）若一個質(zhì)點在某一外力作用下做某種運動，那么內(nèi)力不改變質(zhì)心的這種運動，比如原某以物體做拋體運動時，突然炸成兩塊，那么這兩塊物體的質(zhì)心仍然繼續(xù)做原來的拋體運動。
系統(tǒng)內(nèi)力只改變系統(tǒng)內(nèi)各物體的運動狀態(tài)，不能改變整個系統(tǒng)的運動狀態(tài)，只有外力才能改變整個系統(tǒng)的運動狀態(tài)，所以，系統(tǒng)不受或所受外力為0時，系統(tǒng)總動量保持不變
動量守恒定律是空間平移不變性的表現(xiàn)。在狹義相對論中，動量和能量結(jié)合在一起成為動量-能量四維矢量，動量守恒定律也與能量守恒定律一起結(jié)合為四維動量守恒定律。