2011電工杯數(shù)學(xué)建模競賽A題答案

【專家解說】：摘要
本文針對風(fēng)電功率的預(yù)測問題，分別采用時間序列法、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、灰色預(yù)測法對未來機(jī)組輸出的電功率建立了三種合理預(yù)測模型，并通過對各種模型的誤差分析，進(jìn)一步提出了改進(jìn)的方案使其預(yù)測更加的準(zhǔn)確，在最后將模型推廣到n臺風(fēng)電機(jī)組給出了合理的模型。
對于問題一，我們建立了三種不同的預(yù)測模型對未來的電功率進(jìn)行預(yù)測并做了各自模型的誤差分析。
模型一 我們?nèi)?月30號的輸出風(fēng)電功率數(shù)據(jù)作為一組時間序列，通過對初始數(shù)據(jù)的零均值轉(zhuǎn)換，使得數(shù)據(jù)趨于平穩(wěn)。然后運(yùn)用統(tǒng)計軟件 對數(shù)據(jù)分析計算得到相關(guān)系數(shù)，進(jìn)而對模型進(jìn)行確定與定階，經(jīng)過擬合最終得到合理的時間序列ARIMA模型.
模型二 我們首先構(gòu)造了人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)層結(jié)構(gòu)圖，根據(jù)時間序列得到的預(yù)測模型作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的輸入層數(shù)據(jù)，隱層通過采用tansig轉(zhuǎn)移函數(shù)以及輸出層運(yùn)用pureline轉(zhuǎn)移函數(shù)，而后根據(jù)不同層的權(quán)重篩選及誤差反映，最終我們運(yùn)用matlab的LAMP算法得到了數(shù)據(jù)的期望值曲線及均方誤差，進(jìn)而得到了合理的預(yù)測模型。
模型三 我們采用灰色預(yù)測采集數(shù)據(jù)為4個歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，先通過構(gòu)造關(guān)聯(lián)矩陣從而對其進(jìn)行累計加權(quán)，最終得到了合理的灰色預(yù)測模型。
對于問題二，我們主要根據(jù)在問題一中的誤差分析，取一項誤差分析(相對誤差)指標(biāo)進(jìn)而對不同機(jī)組進(jìn)行求解。根據(jù)不同模型不同機(jī)組的相對誤差的分析，我們得到了電機(jī)組匯聚的誤差相對單機(jī)來說誤差較大，原因是因為多臺電機(jī)同時運(yùn)行時電刷端無法充分工作。
對于問題三，為了進(jìn)一步使誤差降低到最小，我們采用組合預(yù)測模型，通過對各模型的誤差分析賦予不同的權(quán)值，從而使預(yù)測的期望結(jié)果更加精確。
通過上述三個問題的解答，我們分析了阻礙風(fēng)電功率實時預(yù)測精度進(jìn)一步改善的主要因素是因為實測數(shù)據(jù)本身就存在各種不可避免的誤差，因此風(fēng)電功率的預(yù)測精度無法得到無限提高。

關(guān)鍵詞：風(fēng)電功率　時間序列　人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)　灰色預(yù)測　組合預(yù)測

一、 問題重述
風(fēng)能是一種可再生、清潔的能源，風(fēng)力發(fā)電是最具大規(guī)模開發(fā)技術(shù)經(jīng)濟(jì)條件的非水電再生能源?，F(xiàn)今風(fēng)力發(fā)電主要利用的是近地風(fēng)能，但近地風(fēng)具有波動性、間歇性、低能量密度等特點，因而風(fēng)電功率也是波動的。
大規(guī)模風(fēng)電場接入電網(wǎng)運(yùn)行時，大幅度地風(fēng)電功率波動會對電網(wǎng)的功率平衡和頻率調(diào)節(jié)帶來不利影響。因此，我們要實現(xiàn)對風(fēng)電場發(fā)電功率的盡可能準(zhǔn)確地預(yù)測，這樣，電力調(diào)度部門就能夠根據(jù)風(fēng)電功率變化預(yù)先安排調(diào)度計劃，保證電網(wǎng)的功率平衡和運(yùn)行安全。
實時預(yù)測是風(fēng)電功率預(yù)測的一種，它要求滾動地預(yù)測每個時點未來4小時內(nèi)的16個時點（每15分鐘一個時點）的風(fēng)電功率數(shù)值。根據(jù)國家能源局頒布的《風(fēng)電場功率預(yù)測預(yù)報管理暫行辦法》中的要求，實時預(yù)測的誤差不能大于15%。
某風(fēng)電場由58臺風(fēng)電機(jī)組構(gòu)成，每臺機(jī)組的額定輸出功率為850kW。附件2中給出了2006年5月10日至2006年6月6日時間段內(nèi)該風(fēng)電場中指定的四臺風(fēng)電機(jī)組（A、B、C、D）輸出功率數(shù)據(jù)（分別記為PA，PB，PC，PD;另設(shè)該四臺機(jī)組總輸出功率為P4）及全場58臺機(jī)組總輸出功率數(shù)據(jù)（記為P58）。
問題1：風(fēng)電功率實時預(yù)測及誤差分析。
對給定數(shù)據(jù)進(jìn)行風(fēng)電功率實時預(yù)測并檢驗預(yù)測結(jié)果是否滿足關(guān)于預(yù)測精度的相關(guān)要求。具體要求：
1) 采用不少于三種預(yù)測方法（至少選擇一種時間序列分析類的預(yù)測方法）；
2) 預(yù)測量：
a．PA, PB, PC, PD； b．P4； c．P58。
3) 預(yù)測時間范圍分別為（預(yù)測用的歷史數(shù)據(jù)范圍可自行選定）：
a.5月31日0時0分至5月31日23時45分；
b.5月31日0時0分至6月6日23時45分。
4) 試根據(jù)附件1中關(guān)于實時預(yù)測的考核要求分析你所采用方法的準(zhǔn)確性；
5) 你推薦哪種方法？
問題2：試分析風(fēng)電機(jī)組的匯聚對于預(yù)測結(jié)果誤差的影響。
問題3：進(jìn)一步提高風(fēng)電功率實時預(yù)測精度的探索。

通過求解上述問題，分析論證阻礙風(fēng)電功率實時預(yù)測精度進(jìn)一步改善的主要因素。風(fēng)電功率預(yù)測精度是否能無限提高？
二、 問題分析
1. 問題一
該問題是電功率的實時預(yù)測及誤差分析，其主要研究目的是建立一定的數(shù)學(xué)模型來盡可能準(zhǔn)確地做出風(fēng)電功率的實時預(yù)測，并使的預(yù)測結(jié)果的誤差在滿足國家相關(guān)規(guī)定的基礎(chǔ)上盡可能小，以便提供給電力調(diào)度部門，方便其優(yōu)化調(diào)度安排。
該問題屬于預(yù)測類的數(shù)學(xué)問題，且是直接利用歷史數(shù)據(jù)，使用一定的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行預(yù)測。常見的方法有人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法 、時間序列法(AMAR) 、遺傳算法 、灰色分析預(yù)測法、卡爾曼濾波法、及其它算法 。
問題一要求至少用三種預(yù)測方法對PA PB PC PD P4 P58這六個量在未來16個時點的風(fēng)電功率數(shù)值進(jìn)行預(yù)測，并對結(jié)果進(jìn)行誤差分析，確定實時預(yù)測的相對誤差不能大于15%。由于題中所要求的16個預(yù)測結(jié)果是滾動預(yù)測所得，一般來說，風(fēng)電功率的預(yù)測值與實測值之間存在相對較大的誤差，這就需要我們對結(jié)果進(jìn)行誤差分析后再根據(jù)分析結(jié)果對模型進(jìn)行進(jìn)一步優(yōu)化。
基于以上考慮，我們可以分別用時間序列法建立數(shù)學(xué)模型一，用灰色分析預(yù)測法建立數(shù)學(xué)模型二，用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法建立數(shù)學(xué)模型三，對結(jié)果進(jìn)行預(yù)測，并將預(yù)測結(jié)果進(jìn)行比較，同時分別對各模型所的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行
2. 問題二
本問題要求分析風(fēng)電機(jī)組的匯聚對與預(yù)測數(shù)據(jù)誤差的影響。在我國主要采用集中開發(fā)的方式開發(fā)風(fēng)電，各風(fēng)電機(jī)組功率匯聚通過風(fēng)電場或風(fēng)電場群（多個風(fēng)電場匯聚而成）接入電網(wǎng)。眾多風(fēng)電機(jī)組的匯聚會改變風(fēng)電功率波動的屬性，從而可能影響預(yù)測的誤差。故而對風(fēng)電機(jī)組的匯聚和其相應(yīng)的預(yù)測數(shù)據(jù)誤差進(jìn)行分析，得出二者之間的關(guān)系，將對我們分析預(yù)測大規(guī)模的風(fēng)電場群的風(fēng)電功率提供參考。
即問題二實質(zhì)上是研究風(fēng)電機(jī)組的臺數(shù)與對應(yīng)的風(fēng)電功率預(yù)測值的相對誤差之間的關(guān)系。
因此，我們可以用問題一中預(yù)測結(jié)果的相對誤差，比較單臺風(fēng)電機(jī)組功率（PA，PB，PC，PD）預(yù)測的相對誤差與多機(jī)總功率（P4，P58）預(yù)測的相對誤差，再用時序分析法建立模型四來擬合確定臺數(shù)的風(fēng)電功率預(yù)測值的相對誤差與對應(yīng)風(fēng)電機(jī)組的臺數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而對風(fēng)電機(jī)組匯聚給風(fēng)電功率預(yù)測誤差帶來的影響做預(yù)期。
3. 問題三
從問題一和問題二的結(jié)果我們可以看出模型一、模型二、模型三所得出的預(yù)測結(jié)果都存在一定程度的誤差，而提高風(fēng)電功率實時預(yù)測的準(zhǔn)確程度對改善風(fēng)電聯(lián)網(wǎng)運(yùn)行性能有重要意義。因而在模型一、模型二、模型三的基礎(chǔ)上，構(gòu)建有更高預(yù)測精度的實時預(yù)測方法是非常必要的。
通過對問題一的求解，我們可以分別得到模型一、模型二、模型三的擬合優(yōu)度，再利用三個擬合優(yōu)度的比值來確定三個模型所得預(yù)測值的權(quán)重，進(jìn)而用組合預(yù)測的方法得出模型五，使得預(yù)測精度進(jìn)一步提高。
三、 模型假設(shè)
1. 假設(shè)題目所給的數(shù)據(jù)真實；
2. 假設(shè)軟件求解過程中系統(tǒng)不會產(chǎn)生誤差；
3. 假設(shè)測數(shù)據(jù)時風(fēng)電機(jī)組都運(yùn)行正常；
4. 假設(shè)天氣因素不影響風(fēng)電功率。
四、 符號說明
1. :自相關(guān)函數(shù)；
2. ；偏自相關(guān)函數(shù)；
3. ：樣本序列；
4. ：差分處理后的序列；
5. ：自相關(guān)子數(shù)；
6. :偏自相關(guān)字?jǐn)?shù)；
7. :延遲算子；
8. :預(yù)測值；
9. ：方差；
10. ：相對殘差；
11. ：均分根誤差；
12. ：平均絕對誤差；
13. ：第 個非線性變換單元“中心”向量；
14. ：隱單元的變換函數(shù)；
15. ：權(quán)重；
16. ：數(shù)據(jù)殘差 ；
17. ：范數(shù)。
五、 模型建立與求解
(一) 問題一
模型一(非平穩(wěn)時間序列模型)
1、數(shù)據(jù)預(yù)處理
首先取58臺5月30號的96個樣本數(shù)據(jù)序列 得到如下圖（1）

圖1 序列曲線
由圖一表明：該樣本構(gòu)成的時間序列為非平穩(wěn)時間序列。
由此對該樣本值進(jìn)行有序差分變換
差分算子
對96個樣本值進(jìn)行一階差分可得到如下 序列圖(2)

圖2 數(shù)據(jù)差分處理序列曲線
有圖二表明：該序列已平穩(wěn)，則原時間序列可表示為

即自回歸-滑動平均模型 。
2、平穩(wěn)隨機(jī)時間序列模型的識別
2.1計算偏自相關(guān)系數(shù)及自相關(guān)系數(shù)
2.1.1自相關(guān)函數(shù)

2.1.2偏自相關(guān)函數(shù)

當(dāng) 時，第 系數(shù) 為平穩(wěn)序列 的偏自相關(guān)系數(shù)
運(yùn)用統(tǒng)計學(xué)軟件我們得到該平穩(wěn)序列 、 如下圖（3）

圖3 差分處理數(shù)據(jù)的相關(guān)性分析
2.2模型識別與模型參數(shù)估計
2.2.1模型識別
我們運(yùn)用經(jīng)典的 模型識別方法
對于 模型，其偏自相關(guān)函數(shù)滿足下式

對于 模型，其自相關(guān)函數(shù)滿足下式

對于 模型，同時具備 和 模型的特征。
由此我們給出三種模型的基本特征如表一
表一 三種基本模型特征
類別 模型名稱

自相關(guān)函數(shù) 拖尾 截尾 拖尾
偏自相關(guān)函數(shù) 截尾 拖尾 拖尾
由上面 、 統(tǒng)計特性，我們可以判斷該模型屬于
2.2.2模型參數(shù)估計
由2.2.1我們得到該模型屬于 模型，因此我們對該模型進(jìn)行參數(shù)估計，由該模型可推得

我們令 ，則 ，這樣就將原 變成 模型，我們根據(jù) 的參數(shù)估計對 、 …， 進(jìn)行估計
若 的階數(shù)較低我們可直接求解。
若 的階數(shù)較高，可運(yùn)用線性跌代法求解。
2.3模型定階
根據(jù)AIC最小信息準(zhǔn)則法進(jìn)行模型定階，經(jīng)過逐步的模型擬合，矩估計模型參數(shù)估計，我們最終得到當(dāng)模型的階數(shù)為 模型，擬合效果達(dá)到最優(yōu)。如下圖（4）

圖4 模型的擬合
由此我們確定模型為
2.4建立預(yù)測模型
對于 模型，由于樣本個數(shù)h>p，因此殘差項 =0，這里運(yùn)用統(tǒng)計spss軟件可求得則預(yù)測方程為
= 19930.39216 + AR(1)=0.6752061645 +AR(2)=0.1657058252 +AR(3)=-0.04506977184 +AR(4)=-0.1007669642 +AR(5)=0.00320666507 +AR(6)=0.03881877566
2.5實時預(yù)測
運(yùn)用預(yù)測方程對5月31號的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測得到如下曲線圖（5）

圖5 預(yù)測數(shù)據(jù)與真實值的比較曲線圖
從圖5中表明：基本上符合了58臺電機(jī)組5月31號的輸出電功率的趨勢。但預(yù)測明顯存在延時性，以及預(yù)測精度不高，現(xiàn)在我們對其進(jìn)行誤差分析。
2.6誤差分析
通常用三個指標(biāo)來對模型進(jìn)行評估：
均方根誤差：

平均絕對誤差：

平均相對誤差：

在這里我們僅運(yùn)用相對誤差進(jìn)行分析如下
將數(shù)據(jù)代入公式我們得到表二
表二 時間序列模型誤差分析
P58電機(jī)組 真實值 預(yù)測值 絕對誤差 相對誤差
1 11634.84 10534.83 1100 0.094544

2 16696.88 10686.88 6010 0.359947

3 18568.59 12448.59 6120 0.329589

4 16420.41 11420.11 5000 0.304499

5 18146.06 18100.06 46 0.002535

為了減小誤差我們將采用組合預(yù)測的方法使誤差達(dá)到最低。
模型二（人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型RBF）
2.1.構(gòu)造神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖
一般的我們選取隱層為3的結(jié)構(gòu)圖，它能更好地對誤差進(jìn)行反向修正。由此我們構(gòu)造如下

圖6 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖
2.2、輸入變量的的選擇
我們利用模型一建立好的時間序列模型選擇輸入變量。
在模型一中表明：原始的電功率序列 進(jìn)行1階差分處理的序列 可識別為
模型。
由此我們選擇輸入的變量為最近的6個歷史數(shù)據(jù)及最近的一個殘差 為組
2.3、網(wǎng)絡(luò)輸入輸出數(shù)據(jù)的歸一化處理
對輸入輸出的數(shù)據(jù) 采用以下公式

進(jìn)行歸一化處理使其落在[-1,1]區(qū)間
2.4、網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練及預(yù)測結(jié)果輸出
對輸入選擇的變量進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)函數(shù)訓(xùn)練
第一步我們對輸入的變量從輸出層得到輸出值

第二部從隱含層輸出函數(shù)為

由此我們根據(jù)LAMP算法可得到如下曲線圖（6）（7）

圖6、7 樣本真實值與預(yù)測值曲線
2.5、模型誤差分析
我們同樣取P58臺電機(jī)組的5個數(shù)據(jù)進(jìn)行誤差分析得到如下表格三
表三 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)誤差分析
P58 相對誤差
1 0.26102
2 0.126504

3 0.113031

4 0.069922

5 0.0538867

模型三
3.1灰色預(yù)測矩陣
同理我們僅取P58 臺機(jī)組的6個歷史數(shù)據(jù)運(yùn)用灰色預(yù)測法進(jìn)行預(yù)測。
灰色預(yù)測基本原理如下：
首先，進(jìn)行一次累加

其中，顯然有 ， 表示累加后的數(shù)列。
然后，參數(shù)估計

其次，累加數(shù)列 的灰色預(yù)測模型

由此，求原始數(shù)列的灰色預(yù)測模型

最后，進(jìn)行模型精度的方差檢驗
歷史數(shù)據(jù)殘差為：

相對殘差為：

預(yù)測結(jié)果：
對模型的預(yù)測結(jié)果。
得到真實觀測與擬合曲線的對比

同理我們對模型進(jìn)行誤差分析得到如下表四

表四 灰色模型預(yù)測誤差分析
P58電機(jī)組 真實值 模擬值 絕對誤差 相對誤差
1 28560.56 3.04E+04 1805.44 0.06
2 17980.03 2.18E+04 3855.97 0.21
3 19235.06 1.76E+04 1605.06 0.08
4 21874.5 1.88E+04 3072.50 0.14
5 29787.38 2.84E+04 1416.38 0.05
(二) 問題二
我們分別運(yùn)用三種模型對PA、PB、PC、PD、P4、P58進(jìn)行誤差分析，我們僅取相對誤差進(jìn)行分析如下表（五）
表五PA、PB、PC、PD、P4、P58相對誤差分析
相對誤差分析
PA PB PC PD P4 P58
模型一 0.023 0.0156 0.142 0.0245 0.0206 0.013
模型二 0.0102 0.1203 0.106 0.102 0.0135 0.0112
模型三 0.125 0.156 0.179 0.194 0.113 0.06
圖表五表明：多機(jī)組的誤差總體上小于單機(jī)組的誤差。
因此我們期望為了盡可能準(zhǔn)確預(yù)測，盡量使多臺電機(jī)共同運(yùn)作，以使能夠更好的對未來發(fā)電輸出功率進(jìn)行預(yù)測。
(三) 問題三
為了進(jìn)一步提高風(fēng)電功率的預(yù)測精度，我們建立了組合預(yù)測模型其表達(dá)式如下
設(shè) 三種模型分別表示為P1、P2、P3則組合預(yù)測模型為

3種預(yù)測模型的方差、誤差分別為 、 、 、 、 、 則
組合預(yù)測誤差的方差為
當(dāng)三種預(yù)測方法的預(yù)測誤差分別服從零均值正太分布時，可用以下式估計

由此我們可得出 的估計值為

由此證明 ，表明組合預(yù)測的方法優(yōu)于單一預(yù)測方法。
六、 模型評價與推廣
1. 模型一的評價
優(yōu)點：對于短、近期預(yù)測比較顯著。
缺點：延伸到更遠(yuǎn)的將來,就會出現(xiàn)很大的局限性,導(dǎo)致預(yù)測值偏離實際較大而使決策失誤。
不適用于對長遠(yuǎn)數(shù)據(jù)的預(yù)測。
2. 模型二的評價
優(yōu)點：BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種有效的非線性建模方法；具有很強(qiáng)的容錯性和很快的處理數(shù)據(jù)能力。
缺點：網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的選擇尚無一種統(tǒng)一而完整的理論指導(dǎo)，理解起來比較費(fèi)勁，對模型學(xué)習(xí)速度慢。
3. 模型三的評價
優(yōu)點：算法簡單、可利用較少數(shù)據(jù)建模。
缺點：對于復(fù)雜的非線性系統(tǒng)來說預(yù)測的效果不是很理想
4. 模型推廣
對于風(fēng)電機(jī)組群問題我們同樣采用問題三的模型，即 時我們采用組合預(yù)測模型。
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