E=MC平方，是怎么得出來的？

【專家解說】：第一步：要討論能量隨質(zhì)量變化，先要從量綱得知思路： 能量量綱[E]=[M]([L]^2)([T]^(-2)),即能量量綱等于質(zhì)量量綱和長度量綱的平方以及時間量綱的負二次方三者乘積。 我們需要把能量對于質(zhì)量的函數(shù)形式化簡到最簡，那么就要求能量函數(shù)中除了質(zhì)量，最好只有一個其它的變量。 把([L]^2)([T]^(-2))化簡，可以得到只有一個量綱-速度[V_]的形式： [V_]*[V_]。 也就是[E]=[M][V_]*[V_] 可見我們要討論質(zhì)能關系，最簡單的途徑是從速度v_下手。 ---------------------------------------------------- 第二步：先要考慮能量的變化 與能量的變化有關的有各種能量形式的轉(zhuǎn)化，其中直接和質(zhì)量有關的只有做功。 那么先來考慮做工對于能量變化的影響。 當外力F_(后面加_表示矢量，不加表示標量)作用在靜止質(zhì)量為m0的質(zhì)點上時，每產(chǎn)生ds_（位移s_的微分）的位移，物體能量增加 dE=F_*ds_(*表示點乘)。 考慮最簡化的 外力與位移方向相同的情況，上式變成 dE=Fds ---------------------------------------- 第三步：怎樣把力做功和速度v變化聯(lián)系起來呢？也就是說怎樣來通過力的作用效果來得出速度的變化呢？ 我們知道力對物體的沖量等于物體動量的增量。那么，通過動量定理，力和能量就聯(lián)系起來了： F_dt=dP_=mdv_ ---------------------------------------- 第四步：上式中顯然還要參考m質(zhì)量這個變量，而我們不想讓質(zhì)量的加入把我們力和速度的關系復雜化。我們想找到一種辦法約掉m，這樣就能得到純粹的速度和力的關系。 參考dE=Fds和F_dt=dP_，我們知道，v_=ds_/dt 那么可以得到 dE=v_*dP_ 如果考慮最簡單的形式：當速度改變和動量改變方向相同： dE=vdP --------------------------------- 第五步：把上式化成能量和質(zhì)量以及速度三者的關系式（因為我們最初就是要討論這個形式）： dE=vd(mv)----因為dP=d(mv) --------------------------------- 第六步：把上式按照微分乘法分解 dE=v^2dm+mvdv 這個式子說明：能量的增量含有質(zhì)量因速度增加而增加dm產(chǎn)生的能量增量和單純速度增加產(chǎn)生的能量增量2個部分。（這個觀點非常重要，在相對論之前，人們雖然在理論物理推導中認識到質(zhì)量增加也會產(chǎn)生能量增量，但是都習慣性認為質(zhì)量不會隨運動速度增加而變化，也就是誤以為dm恒定為0，這是經(jīng)典物理學的最大錯誤之一。） --------------------------------- 第七步：我們不知道質(zhì)量隨速度增加產(chǎn)生的增量dm是怎樣的，現(xiàn)在要研究它到底如何隨速度增加（也就是質(zhì)量增量dm和速度增量dv之間的直接關系）： 根據(jù)洛侖茲變換推導出的靜止質(zhì)量和運動質(zhì)量公式： m=m0[1-(v^2/c^2)]^(-1/2) 化簡成整數(shù)次冪形式： m^2=(m0^2)[1-(v^2/c^2)] 化成沒有分母而且m和m0分別處于等號兩側(cè)的形式（這樣就是得到運動質(zhì)量m對于速度變化和靜止質(zhì)量的純粹的函數(shù)形式）： (m^2)(c^2-v^2)=(m0^2)c^2 用上式對速度v求導得到dm/dv（之所以要這樣做，就是要找到質(zhì)量增量dm和速度增量dv之間最直接的關系，我們這一步的根本目的就是這個）： d[(m^2)(c^2-v^2)]/dv=d[(m0^2)c^2]/dv(注意式子等號右邊是常數(shù)的求導,結(jié)果為0) 即 [d(m^2)/dv](c^2-v^2)+m^2[d(c^2-v^2)/dv]=0 即 [m(dm/dv)+m(dm/dv)](c^2-v^2)+(m^2)[0-2v]=0 即 2m(dm/dv)(c^2-v^2)-2vm^2=0 約掉公因式2m(肯定不是0，呵呵，運動質(zhì)量為0？沒聽說過) 得到： (dm/dv)(c^2-V^2)-mv=0 即 (dm/dv)(c^2-V^2)=mv 由于dv不等于0（我們研究的就是非靜止的情況，運動系速度對于靜止系的增量當然不為0） (c^2-v^2)dm=mvdv 這就是我們最終得到的dm和dv的直接關系。 -------------------------------------------- 第八步：有了dm的函數(shù)，代回到我們第六步的能量增量式 dE=v^2dm+mvdv =v^2dm+(c^2-v^2)dm =c^2dm 這就是質(zhì)能關系式的微分形式，它說明：質(zhì)量的增量與能量的增量成正比，而且比例系數(shù)是常數(shù)c^2。 ------------------------------------------ 最后一步：推論出物體從靜止到運動速度為v的過程中，總的能量增量： 對上一步的結(jié)論進行積分，積分區(qū)間取質(zhì)量從靜止質(zhì)量m0到運動質(zhì)量m，得到 ∫dE=∫[m0~m]c^2dm 即 E=mc^2-m0c^2 這就是 物體從靜止到運動速度為v的過程中，總的能量增量。 其中 E0=m0c^2稱為物體靜止時候的靜止能量。 Ev=mc^2稱為物體運動時候的總動能（運動總能量）。 總結(jié)：對于任何已知運動質(zhì)量為m的物體，可以用E=mc^2直接計算出它的運動動能。