一類非線性偏微分方程組的差分方法及在污水處理模擬中的應(yīng)用

【摘要】：物理、化學(xué)、生物、地質(zhì)等領(lǐng)域的很多模型都可歸結(jié)為線性或非線性偏微分方程的定解問題。對于一個(gè)非線性偏微分方程，要想求出其精確解析解是相當(dāng)困難的，于是只好轉(zhuǎn)而去求其數(shù)值解。雖然偏微分方程數(shù)值解法的發(fā)展由來已久，但發(fā)展一直很慢，主要是由于人們受計(jì)算能力的限制。但直到20世紀(jì)70年代以來，隨著計(jì)算機(jī)的高速發(fā)展，人們的計(jì)算能力大大增強(qiáng)，研究熱點(diǎn)也逐漸轉(zhuǎn)向非線性科學(xué)領(lǐng)域，非線性偏微分方程的數(shù)值解問題便是其中很重要的一方面。 人們在實(shí)踐當(dāng)中，對于微分方程定解問題，發(fā)展了很多方法，包括 方法、各種混合元、邊界元、無限元法及上世紀(jì)八十年代興起的小波分析法，但應(yīng)用最多的還是有限元法和有限差分法。 其中有限差分法的思想就是直接用各階差商來代替微分方程中的各階導(dǎo)數(shù)，根據(jù)具體問題和所選擇的差分格式的不同，加上適當(dāng)?shù)某踹呏禇l件，便形成一個(gè)線性或非線性的代數(shù)方程組。差分方法的首要問題就是構(gòu)造合理的差分格式，使得它的解保持原問題的某些主要性質(zhì)，并且又足夠精確。一個(gè)好的和實(shí)用的差分格式應(yīng)滿足相容性、穩(wěn)定性和收斂性。 本文主要考慮一類如下形式的具有代表性的非線性耦合偏微分方程組初邊值問題： ，　　　　 ， 其中： 是 維未知向量函數(shù) , 是 階正定系數(shù)矩陣， 是 維向量函數(shù)，其中 和 屬于矩形域： WP=57 是 維已知 向量函數(shù)。 針對上述形式微分方程定解問題，構(gòu)造如下的差分格式 ， ， 在適當(dāng)?shù)臈l件下給出穩(wěn)定性的證明。 對于上述定解問題，若采用隱式差分格式，便得到一個(gè)非線性的差分方程組，這就涉及到非線性方程組數(shù)值解法問題，于是在第三章中簡要介紹了非線性方程組的迭代方法，并針對如下形式的阻尼參數(shù) 型迭代格式， ， 給出并證明了其收斂性的的充要條件。 最后，利用前述格式，實(shí)際應(yīng)用當(dāng)中我們對污水處理過程中的三氮進(jìn)行了數(shù)值模擬。結(jié)果表明，數(shù)值解具有較好的收斂性和模擬效果，從而說明了所采用的差分格式和求解非線性差分方程的阻尼參數(shù) 下降差分格式具有較高的實(shí)用價(jià)值。 【關(guān)鍵詞】：非線性 偏微分方程組 有限差分法 穩(wěn)定性 迭代格式
【學(xué)位授予單位】：吉林大學(xué)
【學(xué)位級別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2004
【分類號】：O29
【目錄】：

• 內(nèi)容提要5-6
• 緒論6-8
• 第一章 偏微分方程差分方法8-19
• 1.1 偏微分方程的差分格式8-10
• 1.2 線性差分格式的穩(wěn)定性和收斂性10-13
• 1.3 非線性差分格式的穩(wěn)定性和收斂性13-14
• 1.4 差分格式穩(wěn)定性的常用判別方法14-19
• 第二章 一類非線性拋物型偏微分方程組的一般差分格式19-29
• 2.1 差分格式19-23
• 2.2 存在性和收斂性23-26
• 2.3 穩(wěn)定性26-29
• 第三章 多元非線性方程組的數(shù)值解法29-43
• 3.1 幾個(gè)定義和定理29-33
• 3.2 解非線性方程組的Newton型迭代法33-41
• 3.2.1 線性化方法與Newton法34-36
• 3.2.2 阻尼參數(shù)Newton下降法36-41
• 3.2.3 Newton型迭代法的收斂定理41
• 3.3 解非線性方程組的其它方法41-43
• 第四章 應(yīng)用數(shù)值算例43-51
• 4.1 模型物理背景43-44
• 4.2 方程建立及參數(shù)說明44-48
• 4.3 求解方程48-50
• 4.4 結(jié)果分析50-51
• 結(jié)論51-52
• 參考文獻(xiàn)52-55
• 致謝55-56
• 中文摘要56-58
• ABSTRACT58-59

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