電阻立方體的問題

    這個(gè)問題起源于上一個(gè)冰河時(shí)代中期的某個(gè)時(shí)候，就在成功的乳齒象狩獵之后。循環(huán)分析或節(jié)點(diǎn)分析將產(chǎn)生與此處所示相同的答案，但需要更多的腦力勞動(dòng)。有時(shí)，如果我們保持警惕，會(huì)有更簡(jiǎn)單的方法。

    這個(gè)問題實(shí)際上證明了對(duì)稱性在某些電路分析中可以提供的好處。也就是說，由 12 個(gè)相等的電阻組成的立方體對(duì)角之間的電阻是多少（圖 1）

    圖 1一個(gè)電阻立方體，每個(gè)邊緣由 12 個(gè)相等的電阻組成，提示我們確定每個(gè)角的電阻。資料約翰·鄧恩
    您可以編寫節(jié)點(diǎn)或循環(huán)方程來解決這個(gè)問題，但過程會(huì)很繁瑣。您必須原諒我，但使用 SPICE 是作弊行為，至少在我看來是這樣。試圖看看哪些內(nèi)容與哪些內(nèi)容同時(shí)發(fā)生可能會(huì)讓你語無倫次。然而，使用一些簡(jiǎn)單的觀察并識(shí)別對(duì)稱性適用的位置將順利地得出正確的結(jié)果。
    在圖 1 中，我們選擇節(jié)點(diǎn) A 和節(jié)點(diǎn) H 作為立方體的對(duì)角。我們向這些相對(duì)的角落注入電流，為了讓事情變得簡(jiǎn)單，我們讓電流為一安培。
    首先，我們看看當(dāng)前的部門。
    因?yàn)槲覀兙哂袑?duì)稱性，所以我們可以說，遠(yuǎn)離節(jié)點(diǎn) A 的三個(gè)電阻將分別承載注入電流的三分之一。節(jié)點(diǎn) B、節(jié)點(diǎn) C 和節(jié)點(diǎn) D 將從各自連接回節(jié)點(diǎn) A 的電阻接收三分之一安培的電流。
    同樣，由于對(duì)稱性，我們可以進(jìn)一步指出，遠(yuǎn)離節(jié)點(diǎn) B、節(jié)點(diǎn) C 和節(jié)點(diǎn) D 的兩個(gè)電阻將分別承載其各自節(jié)點(diǎn)到達(dá)電流的一半。節(jié)點(diǎn) B 將分別向節(jié)點(diǎn) F 和節(jié)點(diǎn) G 傳送六分之一安培，節(jié)點(diǎn) C 將分別向節(jié)點(diǎn) E 和節(jié)點(diǎn) G 傳送六分之一安培，節(jié)點(diǎn) D 將分別向節(jié)點(diǎn) E 傳送六分之一安培和節(jié)點(diǎn)F。
    接下來，我們看看當(dāng)前的總結(jié)。
    節(jié)點(diǎn) E 將接收來自節(jié)點(diǎn) C 和節(jié)點(diǎn) D 的兩個(gè)六分之一安培的電流，節(jié)點(diǎn) F 將接收來自節(jié)點(diǎn) B 和節(jié)點(diǎn) D 的兩個(gè)六分之一安培的電流，而節(jié)點(diǎn) G 將接收來自節(jié)點(diǎn) B 和節(jié)點(diǎn) D 的兩個(gè)六分之一安培的電流。 - 節(jié)點(diǎn) B 和節(jié)點(diǎn) C 各六分之一安培。
    節(jié)點(diǎn) H 將從節(jié)點(diǎn) E、節(jié)點(diǎn) F 和節(jié)點(diǎn) G 接收三個(gè)各三分之一安培的電流。
    可以肯定的是，這整個(gè)推理鏈在語言上是拗口的，但對(duì)圖 1 進(jìn)行目視檢查將使這一切變得非常容易理解。
    如果我們讓每個(gè)電阻器為一歐姆，則承載三分之一安培的每個(gè)電阻器上的壓降將為三分之一伏，而承載六分之一安培的每個(gè)電阻器上的壓降將為三分之一伏特。六伏特。
    如果我們將從節(jié)點(diǎn) H 到節(jié)點(diǎn) A 的電壓降相加，無論我們選擇什么路徑，結(jié)果都是六分之五伏。因此，立方體的角對(duì)角電阻達(dá)到一歐姆的六分之五。